束論の重要概念
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 09:58 UTC 版)
以下、束論において重要な、順序集合論的概念をいくつか定義する。以下、x はある束 L の元を表すものとし、L が最小元 0 を持つ場合には x ≠ 0 であることも要求することがある。 x が 結び既約元 (Join irreducible) であるとは、x = a ∨ b ならば x = a または x = b が L の各元 a, b について成り立つことをいう。 この最初の条件を任意個の結び ∨ a i {\displaystyle \lor a_{i}} に一般化した場合は x は完全結び既約 (completely join irreducible or ∨-irreducible) であるという。結び既約性の双対概念は交わり既約性 (meet irreducibility or ∧-irreducible) である。 結び素元 (Join prime) であるとは x ≤ a ∨ b ならば x ≤ a または x ≤ b が成り立つことをいう。 これも同様に一般化して完全結び素元 (completely join prime) の概念が得られる。結び素元の双対概念は交わり素元 (meet prime) である。任意の結び素元は結び既約であり、任意の交わり素元は交わり既約である。逆は、L が分配的ならば正しい。 束 L が最小元 0 を持つとし、L のある元 x が分解不能元（英語版）（あるいは原子元）であるとは、0 < x かつ 0 < y < x となるような L の元 y が存在しないことをいう。さらに束 L が 原子的あるいは分解不能（英語版） (Atomic) であるとは、L の最小元 0 と異なる任意の元 x に対して、a ≤ x となるような L の分解不能元 a が存在するときに言う。 原子論的 (Atomistic) であるとは、L の任意の元が分解不能元の上限として得られるときに言う。すなわち、L の a ≰ b {\displaystyle a\nleq b} なる任意の元 a, b に対して x ≤ a かつ x ≰ b {\displaystyle x\nleq b} となるような L の分解不能元 x が存在する。 任意の半順序集合に対して、互いに双対なイデアル（英語版）およびフィルターの概念をある種の部分集合族として考えることができるが、もちろん半順序集合である束の理論においてもそれはやはり重要な概念であるが、詳細はそれぞれの項に譲る。
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