普遍代数学からのアプローチ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:32 UTC 版)
「結びと交わり」の記事における「普遍代数学からのアプローチ」の解説
定義により、集合 A 上の二項演算 ∧ が交わりとは、3条件 a, b, c を満たすことをいう。このとき対 (A, ∧) は交わり半束（英語版）である。さらに、次のようにして A 上の二項関係 ≤ を定義できる：x ≤ y ⇔ x ∧ y = x。実は、この関係は A 上の半順序である。実際、A の任意の元 x, y, z に対して、 x ≤ x、なぜならば c により x ∧ x = x; x ≤ y かつ y ≤ x ならば、a により x = x ∧ y = y ∧ x = y; x ≤ y かつ y ≤ z ならば x ≤ z、なぜならば b により x ∧ z = (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) = x ∧ y = x。 結びと交わりはともにこの定義を満たすことに注意。同伴な交わりと結びの対は互いに逆順序となる半順序を定める。それらの順序のうちの一方を主（正順）として選んで、その順序を与える演算を交わり、他方を結びと定義しなおすこともできる。
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