2つのアプローチの同値性

ウィキペディア小見出し辞書

2つのアプローチの同値性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:32 UTC 版)

「結びと交わり」の記事における「2つのアプローチの同値性」の解説

(A, ≤) が半順序集合であって、A の元の各対が交わりを持つとき、確かに x ∧ y = x であるのは x ≤ y のとき、かつそのときに限る。なぜならば後者のとき x はたしかに x と y の下界であり、明らかに x が最大下界であるのはそれが下界であるとき、かつそのときに限る。したがって、普遍代数学からのアプローチにおける交わりによって定義された半順序はもともとの半順序と一致する。 逆に、(A, ∧) が meet-semilattice（英語版） で、半順序 ≤ が普遍代数学からのアプローチのように定義され、A のある元 x と y に対して z = x ∧ y であるとき、z は ≤ に関する x と y の最大下界である。なぜならば z ∧ x = x ∧ z = x ∧ (x ∧ y) = (x ∧ x) ∧ y = x ∧ y = z でありしたがって z ≤ x だからである。同様に、z ≤ y であり、w が x と y の別の下界であるとき、w ∧ x = w ∧ y = w であり、したがって w ∧ z = w ∧ (x ∧ y) = (w ∧ x) ∧ y = w ∧ y = w である。したがって、もともとの交わりによって定義される半順序によって定義される交わりがあり、その2つの交わりは一致する。 言い換えると、この2つのアプローチは本質的に同値な概念を定めている。それは1つの二項関係および1つの二項演算（それぞれ半順序および交わりの条件を満足する）を備えた集合であって、この2つの構造の各々一方が他方を決定するようなものである。