星の質量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/20 15:48 UTC 版)
「レーン＝エムデン方程式」の記事における「星の質量」の解説
ポリトロープの質量M は、半径r の関数としての密度ρ(r )を空間積分した後、r →αξと置き換えて計算すればよい。 M = ∫ 0 R 4 π ρ r 2 d r = ∫ 0 ξ 1 4 π ρ α 3 ξ 2 d ξ = 4 π ρ c α 3 ∫ 0 ξ 1 θ n ξ 2 d ξ {\displaystyle M=\int _{0}^{R}4\pi \rho r^{2}\ dr=\int _{0}^{\xi _{1}}4\pi \rho \alpha ^{3}\xi ^{2}\ d\xi =4\pi \rho _{c}\alpha ^{3}\int _{0}^{\xi _{1}}\theta ^{n}\xi ^{2}\ d\xi } ここで、レーン＝エムデン方程式を代入し、θn を書き換えると、 M = 4 π ρ c α 3 ∫ 0 ξ 1 { − 1 ξ 2 d d ξ ( ξ 2 d θ d ξ ) } ξ 2 d ξ = 4 π ρ c α 3 { − ξ 1 2 ( d θ d ξ ) ξ = ξ 1 } {\displaystyle M=4\pi \rho _{c}\alpha ^{3}\int _{0}^{\xi _{1}}\left\{-{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)\right\}\xi ^{2}\ d\xi =4\pi \rho _{c}\alpha ^{3}\left\{-\xi _{1}^{2}\left({\frac {d\theta }{d\xi }}\right)_{\xi =\xi _{1}}\right\}} となる。さらに、αの定義を用いれば、 M = ( ( n + 1 ) 3 P c 3 4 π G 3 ρ c 4 ) 1 2 { − ξ 1 2 ( d θ d ξ ) ξ = ξ 1 } {\displaystyle M=\left({\frac {(n+1)^{3}P_{c}^{3}}{4\pi G^{3}\rho _{c}^{4}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left\{-\xi _{1}^{2}\left({\frac {d\theta }{d\xi }}\right)_{\xi =\xi _{1}}\right\}} となる。 この表記から、n =5の場合はξ1→∞となるが、質量自体は有限の値をとることが分かる。
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