新形式に付随するアーベル多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/11 21:00 UTC 版)
「谷山–志村予想」の記事における「新形式に付随するアーベル多様体」の解説
新形式（英語版）(new form) f ∈ S 2 ( Γ 0 ( N ) ) {\displaystyle f\in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma _{0}\left(N\right)\right)} に対して、アーベル多様体 A f {\displaystyle A_{f}} を A f := J 0 ( N ) / I f J 0 ( N ) , {\displaystyle A_{f}:=J_{0}\left(N\right)/I_{f}J_{0}\left(N\right),} によって定義する。ただし、 I f {\displaystyle I_{f}} は、 I f := { T ∈ T Z := Z [ T p , ⟨ d ⟩ ] | T f = 0 } {\displaystyle I_{f}:=\{T\in \mathbb {T} _{Z}:=\mathbb {Z} [T_{p},\langle d\rangle ]|Tf=0\}} 。 ここで T p {\displaystyle T_{p}} をヘッケ作用素、 ⟨ d ⟩ {\displaystyle \langle d\rangle } をダイアモンド作用素である。即ち T Z {\displaystyle \mathbb {T} _{Z}} は整数係数のヘッケ環である。(アーベル多様体 A f {\displaystyle A_{f}} の次元は [ K f : Q ] = 1 {\displaystyle \mathbb {[K} _{f}:\mathbb {Q} ]=1} である。ただし、 K f := Q ( { a n } ) {\displaystyle K_{f}:=\mathbb {Q} \left(\{a_{n}\}\right)} は f ( τ ) = ∑ n = 1 ∞ a n q n {\displaystyle f(\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}} の数体である)。 ここで T {\displaystyle T} を T p {\displaystyle T_{p}} または ⟨ d ⟩ {\displaystyle \langle d\rangle } とするとき、これはヤコビアン J 0 ( N ) := J a c ( X 0 ( N ) ) {\displaystyle J_{0}\left(N\right):=\mathrm {Jac} \left(X_{0}\left(N\right)\right)} に以下のように作用する。 T : J 0 ( N ) → J 0 ( N ) , [ φ ] ↦ [ φ ∘ T ] , φ ∈ S 2 ( Γ 0 ( N ) ) ∧ . {\displaystyle T:J_{0}\left(N\right)\rightarrow J_{0}\left(N\right),\quad [\varphi ]\mapsto [\varphi \circ T],\quad \varphi \in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma _{0}\left(N\right)\right)^{\wedge }.} これは、double coset operatorの定義と、ヘッケ作用素がdouble coset operatorの特殊な場合であることから導かれる。なお、記号 [ ] {\displaystyle [\quad ]} は同値類の意味である。
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