散布界と公算誤差
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/26 08:20 UTC 版)
射爆の実務では弾着点のばらつきを分散σ2 で表さずに、散布界や公算誤差で表すことがある。 散布界 n 発の弾着があるときに、その最も遠い弾着点と最も近い弾着点の離隔距離を散布界と呼ぶ。統計学では、n 個のデータの範囲（range）をR 、1つの確率変数に従う累積分布関数をF (x ) とするとき、以下の式で表される。R の累積分布関数： P ( R ≤ r ) = n ∫ − ∞ ∞ { F ( x + r ) − F ( x ) } n − 1 f ( x ) d x {\displaystyle P(R\leq r)=n\int _{-\infty }^{\infty }\{F(x+r)-F(x)\}^{n-1}f(x)dx} R の確率密度関数： p ( r ) = n ( n − 1 ) ∫ − ∞ ∞ { F ( x + r ) − F ( x ) } n − 2 f ( x ) f ( x + r ) d x {\displaystyle p(r)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }\{F(x+r)-F(x)\}^{n-2}f(x)f(x+r)dx} R の期待値（= 平均値）： E ( R ) = ∫ − ∞ ∞ { 1 − ( 1 − F ( x ) ) n − ( F ( x ) ) n } d x {\displaystyle E(R)=\int _{-\infty }^{\infty }\{1-(1-F(x))^{n}-(F(x))^{n}\}dx} 公算誤差 公算誤差は発射された弾の半数が入る、弾着中心からの距離で表される。このため、半数必中界とも呼ばれる。公算誤差r は射弾の半数が±r の範囲に入る距離を表し、1次元の射爆では以下の式で表される。 ∫ − μ + r μ + r 1 2 π σ exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) d x = 1 2 {\displaystyle \int _{-\mu +r}^{\mu +r}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dx={\frac {1}{2}}} r を正規分布の分散σで表せば、1次元の射爆では以下のようになる。 r 1 ≒ 0.6745 σ {\displaystyle r_{1}\fallingdotseq 0.6745\sigma } 2次元と3次元の射爆ではそれぞれの公算誤差r2 とr3 は次のようになる。 r 2 = 2 log 2 σ ≒ 1.1774 σ r 3 ≒ 1.5382 σ {\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}&={\sqrt {2\log 2}}\sigma \fallingdotseq 1.1774\sigma \\r_{3}&\fallingdotseq 1.5382\sigma \end{aligned}}} 1次元から3次元の公算誤差はそれぞれPE（probable error）、CEP（circular error probable）、SEP（spherical error probable）と呼ばれる。従来は正規分布の計算は荒い近似だけでも手間であったが、計算機の進歩により容易に高精度な計算が可能になっている。
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