放物型偏微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/31 09:46 UTC 版)
「ハルナックの不等式」の記事における「放物型偏微分方程式」の解説
熱方程式のような線型の放物型偏微分方程式に対しても、ハルナックの不等式は存在する。 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内のある滑らかな領域とし、次の線型の放物型作用素を考える。 L u = ∑ i , j = 1 n a i j ( t , x ) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + ∑ i = 1 n b i ( t , x ) ∂ u ∂ x i + c ( t , x ) u . {\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u.} ここで各係数は滑らかかつ有界で、行列 ( a i j ) {\displaystyle (a_{ij})} は正定値であるとする。 u ( t , x ) ∈ C 2 ( ( 0 , T ) × M ) {\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})} は不等式 ∂ u ∂ t − L u ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u\geq 0} および u ( t , x ) ≥ 0 {\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0} を満たす ( 0 , T ) × M {\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}} 内の解とする。 K {\displaystyle K} を M {\displaystyle {\mathcal {M}}} のコンパクトな部分空間とし、 τ ∈ ( 0 , T ) {\displaystyle \tau \in (0,T)} を選ぶ。このとき、 K {\displaystyle K} 、 τ {\displaystyle \tau } および L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の係数にのみ依存するある定数 C > 0 {\displaystyle \quad C>0} が存在し、各 t ∈ ( τ , T ) {\displaystyle \quad t\in (\tau ,T)} に対して次が成立する。 sup K u ( t − τ , ⋅ ) ≤ C inf K u ( t , ⋅ ) . {\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).\,}
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