拡張1
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/29 05:26 UTC 版)
冒頭の不定方程式の右辺を 1 のかわりに −1 としたもの x 2 − n y 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1\,} もペル方程式とよばれることがあるが、これは n の値によっては解を持たないこともある。 解を持つ n と、解の例を幾つか挙げる：n = 2 のとき (x, y) = (1, 1), n = 5 のとき (x, y) = (2, 1), n = 13 のとき (x, y) = (18, 5)。 どのような n が -1 の解を持つのかは、未解決問題だが、√n を連分数展開したときの循環節の長さ(周期)が奇数のとき、かつその場合に限り解を持つ事が、知られている。−1 の解を持つ n の必要条件としては、 4の倍数でない 4k + 3 型の素因数を持たない k2 + 2k/a (0 < a < 2k, a | 2k) の形でない が挙げられる。1, 2は、 N = x2 + 1 = ny2 と置いたとき、N が2平方和に分解されており、gcd(x, 1) = 1 であることから、2平方和定理からの自明な帰結として得られる。3は、この形の数の平方根が k 2 + 2 k / a = [ k ; a , 2 k , a , 2 k , . . . ] {\displaystyle {\sqrt {k^{2}+2k/a}}=[k;a,2k,a,2k,...]} と、周期2の連分数に展開される事から、導かれる。例えば、a = k = 12 なら √122+2 = √146 = [12; 12, 24, 12, 24, ...] である。上記が、必要条件であり、必要十分条件でないことは、34 (= 2 × 17), 205 (= 5 × 41), 221 (= 13 × 17) などの多数の反例で示される。 十分条件の報告例は少ないが、n が 4k + 1 型の素数の場合や 8k + 5 型の素数の2倍の場合も、必ず解を持つ事が報告されている。また、n = k2 + 1 の形であれば、(x, y) = (k, 1) が解になる事は、明らかであろう。
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