技術的な概説
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 14:43 UTC 版)
n-次元空間 V の超平面は、(n − 1)-次元の（つまり余次元（英語版）が 1 の）「平坦な」部分集合（これを (n − 1)-次平坦な部分集合などということもある）である。考える空間はユークリッド空間かもしれないし、より一般にアフィン空間や線型空間、射影空間を考えることもできるが、それぞれの場合に応じて超平面の概念も変わってくる。しかしこれらの何れの場合にも、任意の超平面には、単独（これは余次元 1 という制約に対応する）の一次代数方程式（これは平坦という制約条件に対応する）の解としての座標系を与えることができる。 また V が線型空間であるとき（このとき V はアフィン空間でもある）は、「線型超平面」（線型部分空間となっているような超平面、したがって必ず原点を通る）と「アフィン超平面」（アフィン部分空間となっているような超平面、これは必ずしも原点を通らなくてよい。線型超平面の平行移動で得られる）とが区別を受ける。 ユークリッド空間における超平面は、全空間を二つの半空間に分離し、その超平面を動かさずにそれら二つの半空間を入れ替える操作としての鏡映変換を定める。
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