慣性モーメント行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/04 15:03 UTC 版)
剛体粒子系の慣性行列は、基準点の選び方に依存する。質量中心 R に対する慣性行列と他の点 S に対する慣性行列との間には有用な関係があり、この関係は平行軸の定理と呼ばれる。 次の式 [ I S ] = − ∑ i = 1 n m i [ r i − S ] [ r i − S ] , {\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],} で与えられる、基準点 S に対して測定された剛体粒子系の慣性行列 [IS] を考える。ここで ri は粒子 Pi の位置を表す（i = 1, ..., n）。[ri − S] はクロス積を表現するための歪対称行列であり、任意のベクトル y に対して [ r i − S ] y = ( r i − S ) × y {\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} } となる。 R を剛体系の質量中心とすると R = ( R − S ) + S = d + S {\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} } である。ここで d は基準点 S から質量中心 R へのベクトルである。慣性行列を計算するには、次の式を使用する。 [ I S ] = − ∑ i = 1 n m i [ r i − R + d ] [ r i − R + d ] . {\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].} この式を展開すると [ I S ] = ( − ∑ i = 1 n m i [ r i − R ] [ r i − R ] ) + ( − ∑ i = 1 n m i [ r i − R ] ) [ d ] + [ d ] ( − ∑ i = 1 n m i [ r i − R ] ) + ( − ∑ i = 1 n m i ) [ d ] [ d ] {\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d]} が得られる。最初の項は質量中心に対する慣性行列 [IR] である。第2項、第3項は質量中心 R の定義により0となる。つまり ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0} である。最後の項は系の総質量 M に d から作られる歪対称行列 [d] の2乗をかけたものである。 結果、平行軸の定理は [ I S ] = [ I R ] − M [ d ] 2 {\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2}} となる。
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