情報フィルター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 16:55 UTC 版)
「カルマンフィルター」の記事における「情報フィルター」の解説
情報フィルターもしくは逆共分散フィルターにおいては、カルマンフィルターにおける推定された共分散と状態が、各々フィッシャー情報行列と情報ベクトルに置き換わる。 Y k | k ≜ P k | k − 1 {\displaystyle Y_{k|k}\triangleq P_{k|k}^{-1}} y ^ k | k ≜ P k | k − 1 x ^ k | k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k}\triangleq P_{k|k}^{-1}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}} 同様に、予測された共分散と状態は情報形式と等価になり、以下と定義する。 Y k | k − 1 ≜ P k | k − 1 − 1 {\displaystyle Y_{k|k-1}\triangleq P_{k|k-1}^{-1}} y ^ k | k − 1 ≜ P k | k − 1 − 1 x ^ k | k − 1 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k-1}\triangleq P_{k|k-1}^{-1}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}} 観測共分散と観測ベクトルがあるとして、以下で定義する。 I k ≜ H k T R k − 1 H k {\displaystyle I_{k}\triangleq H_{k}^{\textrm {T}}R_{k}^{-1}H_{k}} i k ≜ H k T R k − 1 z k {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{k}\triangleq H_{k}^{\textrm {T}}R_{k}^{-1}{\boldsymbol {z}}_{k}} このとき、情報更新は簡便な和算となる。 Y k | k = Y k | k − 1 + I k {\displaystyle Y_{k|k}=Y_{k|k-1}+I_{k}} y ^ k | k = y ^ k | k − 1 + i k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k-1}+{\boldsymbol {i}}_{k}} 情報フィルターの主たる優位性は、以下に示すように、N 個の観測値は各時間毎に、観測値の情報行列と情報ベクトルの和算でシンプルにフィルター処理される点である。 Y k | k = Y k | k − 1 + ∑ j = 1 N I k , j {\displaystyle Y_{k|k}=Y_{k|k-1}+\sum _{j=1}^{N}I_{k,j}} y ^ k | k = y ^ k | k − 1 + ∑ j = 1 N i k , j {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k-1}+\sum _{j=1}^{N}{\boldsymbol {i}}_{k,j}} 情報フィルターを予測するために、情報空間予測を用いることができる。 Y ~ k | k − 1 = F k − T Y k − 1 | k − 1 F k − 1 {\displaystyle {\tilde {Y}}_{k|k-1}={F_{k}}^{\mathrm {-T} }Y_{k-1|k-1}F_{k}^{-1}} A k = ( G k T Y ~ k | k − 1 G k + Q k − 1 ) − 1 G k T Y ~ k | k − 1 {\displaystyle A_{k}=\left(G_{k}^{\textrm {T}}{\tilde {Y}}_{k|k-1}G_{k}+Q_{k}^{-1}\right)^{-1}G_{k}^{\textrm {T}}{\tilde {Y}}_{k|k-1}} C k = F k − 1 ( I − G k A k ) {\displaystyle C_{k}=F_{k}^{-1}\left(\mathrm {I} -G_{k}A_{k}\right)} Y k | k − 1 = C k T Y k − 1 | k − 1 F k − 1 = C k T Y k − 1 | k − 1 C k + A k T Q k − 1 A k {\displaystyle Y_{k|k-1}=C_{k}^{\textrm {T}}Y_{k-1|k-1}F_{k}^{-1}=C_{k}^{\textrm {T}}Y_{k-1|k-1}C_{k}+A_{k}^{\textrm {T}}Q_{k}^{-1}A_{k}} y ^ k | k − 1 = C k T y ^ k − 1 | k − 1 + Y k | k − 1 u k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k-1}=C_{k}^{\textrm {T}}{\hat {\boldsymbol {y}}}_{k-1|k-1}+Y_{k|k-1}{\boldsymbol {u}}_{k}} なお Q k = 0 {\displaystyle Q_{k}=0} であれば、 A k = 0 {\displaystyle A_{k}=0} である。F は可逆（正則）の必要がある。注意すべきは、もし F, G, Q が時不変(time invariant)ならば、それらの値は保存しておける点である。
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