固定区間平滑化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 16:55 UTC 版)
「カルマンフィルター」の記事における「固定区間平滑化」の解説
固定区間平滑化（fixed-interval smoother）は、平滑化解 x ^ k | n {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|n}} および P k | n {\displaystyle P_{k|n}} （ k = 1 , 2 , … , n {\displaystyle k=1,\,2,\,\ldots ,\,n} 、 n {\displaystyle n} は固定値とする）を求める。 Rauch–Tung–Striebelの関係式（ k ≤ l {\displaystyle k\leq l} ）： t k ≜ x ^ k | l − C k x ^ k + 1 | l {\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{k}\triangleq {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|l}-C_{k}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k+1|l}} T k ≜ P k | l − C k P k + 1 | l C k T {\displaystyle T_{k}\triangleq P_{k|l}-C_{k}P_{k+1|l}{C_{k}}^{\mathrm {T} }} C k ≜ P k | k F k + 1 T P k + 1 | k − 1 {\displaystyle C_{k}\triangleq P_{k|k}{F_{k+1}}^{\mathrm {T} }{P_{k+1|k}}^{-1}} において、 t k {\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{k}} 、 T k {\displaystyle T_{k}} の右式は l {\displaystyle l} に依存しない。なお C k {\displaystyle C_{k}} は情報フィルターのそれに等しい。 これを用いて固定区間平滑化解が求められる。すなわちフィルター計算で k = l {\displaystyle k=l} における上記の値を求めておき、それらを用いて、 x ^ k | n = C k x ^ k + 1 | n + t k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|n}=C_{k}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k+1|n}+{\boldsymbol {t}}_{k}} P k | n = C k P k + 1 | n C k T + T k {\displaystyle P_{k|n}=C_{k}P_{k+1|n}{C_{k}}^{\mathrm {T} }+T_{k}} を逆方向（backward）すなわち、kが減る方向に逐次計算し平滑化解が求められる。ここで計算が丸め誤差を持っていても、 P k | n {\displaystyle P_{k|n}} は必ず半正定値となる。 また、上記を変形すると、Bryson–Frazierの固定区間平滑化と等価の式が得られる。すなわち、 λ k = C k λ k + 1 − K k e k {\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{k}=C_{k}{\boldsymbol {\lambda }}_{k+1}-K_{k}{\boldsymbol {e}}_{k}} Λ k = C k Λ k + 1 C k T + K k S k K k T {\displaystyle \Lambda _{k}=C_{k}\Lambda _{k+1}{C_{k}}^{\mathrm {T} }+K_{k}S_{k}{K_{k}}^{\mathrm {T} }} λ k ≜ x ^ k | k − 1 − x ^ k | n {\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{k}\triangleq {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|n}} Λ k ≜ P k | k − 1 − P k | n {\displaystyle \Lambda _{k}\triangleq P_{k|k-1}-P_{k|n}} λ n + 1 = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{n+1}={\boldsymbol {0}}} Λ n + 1 = 0 {\displaystyle \Lambda _{n+1}=0} また、Biermanによって上記の変形式が得られている。これは、 P k + 1 | k − 1 {\displaystyle {P_{k+1|k}}^{-1}} という逆行列計算を必要とせず平滑化解を得られる。すなわち、 λ ~ k = C ~ k λ ~ k + 1 − H k T S k − 1 e k {\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\lambda }}}_{k}={\tilde {C}}_{k}{\tilde {\boldsymbol {\lambda }}}_{k+1}-{H_{k}}^{\mathrm {T} }{S_{k}}^{-1}{\boldsymbol {e}}_{k}} Λ ~ k = C ~ k Λ ~ k + 1 C ~ k T + H k T S k − 1 H k {\displaystyle {\tilde {\Lambda }}_{k}={\tilde {C}}_{k}{\tilde {\Lambda }}_{k+1}{{\tilde {C}}_{k}}^{\mathrm {T} }+{H_{k}}^{\mathrm {T} }{S_{k}}^{-1}H_{k}} C ~ k ≜ ( I − K k H k ) T F k + 1 T {\displaystyle {\tilde {C}}_{k}\triangleq \left(\mathrm {I} -K_{k}H_{k}\right)^{\mathrm {T} }{F_{k+1}}^{\mathrm {T} }} λ ~ k ≜ P k | k − 1 − 1 λ k {\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\lambda }}}_{k}\triangleq {P_{k|k-1}}^{-1}{\boldsymbol {\lambda }}_{k}} Λ ~ k ≜ P k | k − 1 − 1 Λ k P k | k − 1 − 1 {\displaystyle {\tilde {\Lambda }}_{k}\triangleq {P_{k|k-1}}^{-1}\Lambda _{k}{P_{k|k-1}}^{-1}}
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