強圧的な作用素と形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/06/02 15:21 UTC 版)
H {\displaystyle H} を実ヒルベルト空間とするとき、自己共役作用素 A : H → H {\displaystyle A:H\to H} が強圧的（coercive）であるとは、ある定数 c > 0 {\displaystyle c>0} が存在して ⟨ A x , x ⟩ ≥ c ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq c\|x\|^{2}} が H {\displaystyle H} 内のすべての x {\displaystyle x} に対して成り立つことをいう。 双線型形式 a : H × H → R {\displaystyle a:H\times H\to \mathbb {R} } が強圧的であるとは、ある定数 c > 0 {\displaystyle c>0} が存在して a ( x , x ) ≥ c ‖ x ‖ 2 {\displaystyle a(x,x)\geq c\|x\|^{2}} が H {\displaystyle H} 内のすべての x {\displaystyle x} に対して成り立つことをいう。 リースの表現定理より、任意の対称（ H {\displaystyle H} 内のすべての x , y {\displaystyle x,y} に対して a ( x , y ) = a ( y , x ) {\displaystyle a(x,y)=a(y,x)} ）、連続（ H {\displaystyle H} 内のすべての x , y {\displaystyle x,y} とある定数 k > 0 {\displaystyle k>0} に対して | a ( x , y ) | ≤ k ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle |a(x,y)|\leq k\|x\|\,\|y\|} ）かつ強圧的な双線型形式 a {\displaystyle a} は、ある自己共役作用素 A : H → H {\displaystyle A:H\to H} に対して次の表現を持つことが従う： a ( x , y ) = ⟨ A x , y ⟩ . {\displaystyle a(x,y)=\langle Ax,y\rangle .} この作用素 A {\displaystyle A} は強圧的作用素であることが分かる。また逆に、強圧的な自己共役作用素 A {\displaystyle A} が与えられたとき、上式で定義される双線型形式 a {\displaystyle a} は強圧的である。 任意の自己共役作用素 A : H → H {\displaystyle A:H\to H} が強圧的作用素であるための必要十分条件は、それが（ドット積をより一般の内積に置き換える必要があるが、ベクトル場の強圧性の意味において）強圧的な写像であることである。ベクトル場、作用素および双線型形式に対する強圧性の定義は、密接に関連しており、互いに矛盾しないものである。
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