小さい量子カップ積の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:23 UTC 版)
「量子コホモロジー」の記事における「小さい量子カップ積の性質」の解説
純粋な次数を持つ a, b に対し、 deg ( a ∗ b ) = deg ( a ) + deg ( b ) {\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)} と b ∗ a = ( − 1 ) deg ( a ) deg ( b ) a ∗ b . {\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.} が成り立つ。小さな量子カップ積は分配法則を満たし、Λ-双線型である。単位元 1 ∈ H 0 ( X ) {\displaystyle 1\in H^{0}(X)} もまた、小さな量子コホモロジーの単位元である。 小さなカップ積は結合法則も満たす。これはグロモフ・ウィッテン不変量の張り合わせ規則の結果であり、難しいテクニカルな結果である。このことはグロモフ・ウィッテンポテンシャル (種数 0 のグロモフ・ウィッテン不変量の母函数) が WDVV方程式（英語版）として知られているある3階の微分方程式を満たすことと同じことである。 交叉ペア Q H ∗ ( X , Λ ) ⊗ Q H ∗ ( X , Λ ) → R {\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R} は次の式で定義される。 ⟨ ∑ i a i ⊗ λ i , ∑ j b j ⊗ μ j ⟩ = ∑ i , j ( λ i ) 0 ( μ j ) 0 ∫ X a i ⌣ b j . {\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.} (u の添字の 0 は A = 0 の係数であることを示している。) このペアは次の結合的な性質を満たす。 ⟨ a ∗ b , c ⟩ = ⟨ a , b ∗ c ⟩ . {\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .}
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