小さな量子コホモロジー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:23 UTC 版)
「量子コホモロジー」の記事における「小さな量子コホモロジー」の解説
H ∗ ( X ) = H ∗ ( X , Z ) / t o r s i o n {\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} } をトーションをmoduloとする X のコホモロジーとする。Λ を係数として持つ小さな量子コホモロジー を次のように定義する。 Q H ∗ ( X , Λ ) = H ∗ ( X ) ⊗ Z Λ . {\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .} その要素は次の語りの有限和である。 ∑ i a i ⊗ λ i . {\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}.} 小さな量子コホモロジーは次数付き R-加群で、 deg ( a i ⊗ λ i ) = deg ( a i ) + deg ( λ i ) . {\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).} を持っている。通常のコホモロジー H*(X) は QH*(X, Λ) へ a ↦ a ⊗ 1 {\displaystyle a\mapsto a\otimes 1} を通して埋め込まれ、QH*(X, Λ) は H*(X) により、Λ-加群として生成される。 H*(X) の中の純粋な次数の任意の2つのコホモロジー類 a, b と、 H 2 ( X ) {\displaystyle H_{2}(X)} の中の任意の元 A に対し、(a ∗ b)A を次を式を満たすような H*(X) の唯一の元とする。 ∫ X ( a ∗ b ) A ⌣ c = G W 0 , 3 X , A ( a , b , c ) . {\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).} (右辺は種数が 0 であり、3-点のグロモフ・ウィッテン不変量) として、 a ∗ b := ∑ A ∈ H 2 ( X ) ( a ∗ b ) A ⊗ e A . {\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.} と定義すると、次のように、線型性により問題なく定義できる Λ-加群の写像へ拡張できる。 Q H ∗ ( X , Λ ) ⊗ Q H ∗ ( X , Λ ) → Q H ∗ ( X , Λ ) {\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )} 。 これを小さな量子カップ積と呼ぶ。
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