射影的加群

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射影加群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/25 18:04 UTC 版)

数学において、射影加群(しゃえいかぐん、英: projective module）とは、 表現可能関手 Hom(P, –) が完全となるような加群 P のことである。 自由加群の一般化に相当する。 ホモロジー代数学における基本的な概念のひとつであり、Cartan & Eilenberg (1956)で導入された。

動機

一般の加群 P に対して表現可能関手 Hom(P, –) は左完全である。 つまり任意の短完全列

$0\to N\to M\to K\to 0$

より一般にアーベル圏 ${\mathcal {A}}$ の対象 P は関手 $\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(P,-)$ が完全なときに、射影的という。

例

• 環 R_i の直和 R = R₁ ⊕ R₂ に対して、P_i = R_i ⊕ 0 は射影的な R 加群であるが、自由加群ではない。

性質

• 環 R は半単純 ⇔ すべての左 R 加群は射影的
• P_iはすべて射影加群 ⇔ ⊕P_i は射影加群
• 可換局所環上の有限生成射影加群は自由加群
• 体係数多項式環上の有限生成射影加群は自由加群 （en:Quillen-Suslin theorem）

射影分解と射影次元

加群 M に対し、各 P_i が射影加群であるような次の完全列

$\cdots \to P_{n+1}{\overset {d_{n+1}}{\to }}P_{n}\to \cdots \to P_{1}{\overset {d_{1}}{\to }}P_{0}{\overset {d_{0}}{\to }}M\to 0$

を M の射影分解という。特にすべての i ≥ 0 に対して P_i → Im d_i が射影被覆となるときは極小射影分解という。任意の加群には自由分解（上記で射影加群を自由加群に置き換えたもの）が存在し、したがって射影分解も存在する。すべての i > n に対し P_i = 0 であるような射影分解を長さ n の射影分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M の射影次元といい、存在しない場合は射影次元は ∞ という。ただし、{0} の射影次元は −1 とする。射影次元は pd(M) と書かれる。これは M の極小射影分解の長さに等しい。R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して以下は同値。

• pd(M) ≤ n.
• 任意の R-加群 X に対して、$\operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(M,X)=\{0\}.$
• 任意の i ≥ n + 1 と任意の R-加群 X に対して、$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,X)=\{0\}.$

関連項目

• Ext群
• 入射加群
• 平坦加群
• 射影被覆

参考文献

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992). Rings and Categories of Modules. Graduate texts in mathematics. 13 (Second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97845-3. MR 1245487. Zbl 0765.16001. http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-97845-1. 
• Cartan, H.; Eilenberg, S. (1956). Homological Algebra. Princeton University Press. ISBN 0-444-82375-1. MR 0077480. Zbl 0075.24305. https://books.google.com/books?id=Sd0DDAAAQBAJ.  (Review by S. MacLane)
• Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1. MR 1269324. Zbl 0797.18001. https://books.google.com/books?id=flm-dBXfZ_gC&pg=PA33. 
• Weibel, Charles A. (1999), “History of homological algebra”, in James, I. M., History of Topology, pp. 797–836, doi:10.1016/B978-044482375-5/50029-8, MR 1721123, Zbl 0966.55002, https://books.google.com/books?id=7iRijkz0rrUC&pg=PA797 
• 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久 『環と加群のホモロジー代数的理論』 日本評論社、2002年、第1版。ISBN 4-535-78367-5。 数学 sugaku1947.58.413