定理の内容と第一の結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/21 15:46 UTC 版)
「アスコリ＝アルツェラの定理」の記事における「定理の内容と第一の結果」の解説
ある区間 I = [a, b] 上の連続函数の列 { fn }n∈N が一様有界であるとは、ある数 M が存在して、 | f n ( x ) | ≤ M {\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|\leq M} がその列に含まれるすべての函数 fn とすべての x ∈ [a, b] に対して成立することをいう。その列が同程度（一様）連続であるとは、すべての ε > 0 に対してある δ > 0 が存在し、|x − y| < δ であるなら | f n ( x ) − f n ( y ) | < ε {\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon } がその列のすべての函数 fn に対して常に成り立つことをいう。簡潔に述べると、ある列が同程度連続であるための必要十分条件は、その元が同一の連続率（英語版）を持つことをいう。アスコリ＝アルツェラの定理の最も簡潔な場合は、次のようなものである： 実数直線の有界閉区間 [a, b] 上で定義される実数値連続函数 { fn }n∈N を考える。この列が一様有界かつ同程度（一様）連続であるなら、一様収束するある部分列 (fnk) が存在する。 { fn } のすべての部分列がそれ自身一様収束部分列を持つなら、{ fn } は一様有界かつ同程度連続であるという意味で、この逆もまた真となる（この証明は後述を参照）
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