大定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 14:10 UTC 版)
背理法による。 | z − z 0 | < δ {\displaystyle |z-z_{0}|<\delta } で f ( z ) ≠ { a , b } {\displaystyle f(z)\neq \{a,b\}} であれば | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} で F ( z ) = f ( z − z 0 δ ) − a b − a ≠ { 0 , 1 } {\displaystyle F(z)={\frac {f\left({\tfrac {z-z_{0}}{\delta }}\right)-a}{b-a}}\neq \{0,1\}} である。 M = sup | z | = e − 60 π | F ( z ) | {\displaystyle M=\sup _{|z|=e^{-60\pi }}|F(z)|} とする。 F ( 0 ) {\displaystyle F(0)} が真性特異点であれば、カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理により ∃ z 1 , | z 1 | < e − 60 π , | F ( z 1 ) − ( M + e 15 π + 1 ) | < 1 ∃ z 2 , | z 2 | < | z 1 | , | F ( z 2 ) − 1 | < 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\exists {z_{1}},|z_{1}|<e^{-60\pi },\left|F(z_{1})-\left(M+e^{15\pi }+1\right)\right|<1\\&\exists {z_{2}},|z_{2}|<|z_{1}|,|F(z_{2})-1|<{\tfrac {1}{2}}\\\end{aligned}}} が存在するので F 1 ( t ) = f ( z 2 e 59 π i t ) F 2 ( t ) = log F 1 ( t ) 2 π i , ( | ℑ F 2 ( 0 ) | ≤ 1 ) F 3 ( t ) = F 2 ( t ) G ( t ) = sinh − 1 F 3 ( t ) , ( | ℑ G ( 0 ) | ≤ π ) {\displaystyle {\begin{aligned}&F_{1}(t)=f(z_{2}{e}^{59{\pi }it})\\&F_{2}(t)={\frac {\log {F_{1}(t)}}{2{\pi }i}},\qquad (|\Im {F_{2}(0)}|\leq 1)\\&F_{3}(t)={\sqrt {F_{2}(t)}}\\&G(t)=\sinh ^{-1}F_{3}(t),\qquad (|\Im {G(0)}|\leq \pi )\end{aligned}}} とする。 | z 2 | < | z 1 | < e − 60 π {\displaystyle |z_{2}|<|z_{1}|<e^{-60\pi }} であるから F 1 ( t ) {\displaystyle F_{1}(t)} は | t | < 60 59 {\displaystyle |t|<{\tfrac {60}{59}}} で正則である。 F 1 ( t ) ≠ { 0 , 1 } {\displaystyle F_{1}(t)\neq \{0,1\}} であるから F 2 ( t ) {\displaystyle F_{2}(t)} は正則であり、 F 2 ( t ) ≠ { z ∈ Z } {\displaystyle F_{2}(t)\neq \{z\in \mathbb {Z} \}} である。 F 2 ( t ) ≠ { 0 , 1 } {\displaystyle F_{2}(t)\neq \{0,1\}} であるから F 3 ( t ) {\displaystyle F_{3}(t)} は正則であり、 F 3 ( t ) ≠ { 0 , ± i } {\displaystyle F_{3}(t)\neq \{0,\pm {i}\}} である。故に G ( t ) {\displaystyle G(t)} は正則であり G ( t ) ≠ w ∈ { sinh − 1 n + i π m | ( n , m ) ∈ Z 2 } {\displaystyle G(t){\neq }w\in \{\sinh ^{-1}{\sqrt {n}}+i\pi {m}|(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}\}} である。従って、任意の a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } について、 G ( t ) + a − w {\displaystyle G(t)+a-w} が根を持たない | w | < 2 {\displaystyle |w|<2} が存在する。 t {\displaystyle t} を固定して H ( u ) = G ( t + ( 1 − | t | ) u ) − G ( t ) ( 1 − | t | ) G ′ ( t ) H 1 ( u ) = ( 1 − | u | ) H ′ ( u ) {\displaystyle {\begin{aligned}&H(u)={\frac {G\left(t+(1-|t|)u\right)-G(t)}{(1-|t|)G'(t)}}\\&H_{1}(u)=(1-|u|)H'(u)\\\end{aligned}}} とする。 H ( u ) {\displaystyle H(u)} は | u | < 60 59 {\displaystyle |u|<{\tfrac {60}{59}}} で正則であり、 H ( u ) + a − w {\displaystyle H(u)+a-w} が根を持たない | w | < 2 ( 1 − | t | ) G ′ ( t ) {\displaystyle |w|<{\frac {2}{(1-|t|)G'(t)}}} が存在する。 H 1 ( 0 ) = 1 {\displaystyle H_{1}(0)=1} であるから U = { u ∈ C : | u | < 1 , ( 1 − | u | ) | H ′ ( u ) | ≥ 1 } {\displaystyle \mathbb {U} =\{u\in \mathbb {C} :\;|u|<1,(1-|u|)\left|H'(u)\right|\geq {1}\}} は空でない。 U {\displaystyle \mathbb {U} } の中で絶対値が最大のものを u 1 {\displaystyle u_{1}} として J ( v ) = 2 ( H ( 1 − | u 1 | 2 v + u 1 ) − H ( u 1 ) ) {\displaystyle J(v)=2\left(H\left({\frac {1-|u_{1}|}{2}}v+u_{1}\right)-H\left(u_{1}\right)\right)} とする。 J ( v ) {\displaystyle J(v)} は | v | < 1 {\displaystyle |v|<1} で正則であり、 J ( v ) − w {\displaystyle J(v)-w} が根を持たない | w | < 4 ( 1 − | t | ) G ′ ( t ) {\displaystyle |w|<{\frac {4}{(1-|t|)G'(t)}}} が存在する。これを微分すると J ′ ( v ) = ( 1 − | u 1 | ) H ′ ( 1 − | u 1 | 2 v + u 1 ) {\displaystyle J'(v)=(1-|u_{1}|)H'\left({\frac {1-|u_{1}|}{2}}v+u_{1}\right)} となる。 | J ′ ( 0 ) | = | H 1 ( u 1 ) | = 1 {\displaystyle |J'(0)|=|H_{1}(u_{1})|=1} である。 | J ′ ( v ) | {\displaystyle |J'(v)|} の最大値は、最大値の原理により sup | v | < 1 | J ′ ( v ) | ≤ sup | u | = 1 + | u 1 | 2 ( 1 − | u | ) | H ′ ( u ) | ≤ ( 1 − | u 1 | ) 2 1 + | u 1 | ≤ 2 {\displaystyle \sup _{|v|<1}|J'(v)|\leq \sup _{|u|={\tfrac {1+|u_{1}|}{2}}}(1-|u|)|H'(u)|\leq (1-|u_{1}|){\frac {2}{1+|u_{1}|}}\leq 2} である。 | J ′ ( v ) − 1 | ≤ 3 {\displaystyle \left|J'(v)-1\right|\leq 3} であるから、シュワルツの補題により | J ′ ( v ) − 1 | ≤ 3 v {\displaystyle |J'(v)-1|\leq {3v}} であり、積分すると | J ( v ) − v | ≤ 3 2 | v | 2 {\displaystyle |J(v)-v|\leq {{\frac {3}{2}}|v|^{2}}} となる。任意の | w | < 1 7 {\displaystyle |w|<{\tfrac {1}{7}}} について J 1 ( v ) = J ( v ) − w J 2 ( v ) = v − w {\displaystyle {\begin{aligned}&J_{1}(v)=J(v)-w\\&J_{2}(v)=v-w\\\end{aligned}}} とすれば | v | = 1 3 {\displaystyle |v|={\tfrac {1}{3}}} の上で | J 1 ( v ) − J 2 ( v ) | = | J ( v ) − v | ≤ 1 6 < | J 2 ( v ) | {\displaystyle |J_{1}(v)-J_{2}(v)|=|J(v)-v|\leq {\tfrac {1}{6}}<|J_{2}(v)|} であるから、ルーシェの定理により J 1 ( v ) {\displaystyle J_{1}(v)} と J 2 ( v ) {\displaystyle J_{2}(v)} は | v | < 1 3 {\displaystyle |v|<{\tfrac {1}{3}}} の中に同数の根を持つが、 J 2 ( v ) {\displaystyle J_{2}(v)} が根を持つから J 1 ( v ) {\displaystyle J_{1}(v)} も根を持たなければならない。そのためには | 4 ( 1 − | t | ) G ′ ( t ) | ≥ 1 7 {\displaystyle \left|{\frac {4}{(1-|t|)G'(t)}}\right|\geq {\frac {1}{7}}} でなければならない。 | t | < 1 57 {\displaystyle |t|<{\tfrac {1}{57}}} とすれば | G ′ ( t ) | ≤ 57 2 {\displaystyle |G'(t)|\leq {\tfrac {57}{2}}} となり、 | F 1 ( 0 ) | = | F ( z 2 ) | < 1 2 {\displaystyle |F_{1}(0)|=|F(z_{2})|<{\tfrac {1}{2}}} により | G ( 0 ) | < 1 2 {\displaystyle |G(0)|<{\tfrac {1}{2}}} であるから | G ( t ) | ≤ | G ( 0 ) | + [ 57 2 t ] 0 1 57 < 1 {\displaystyle |G(t)|\leq |G(0)|+\left[{\frac {57}{2}}t\right]_{0}^{\frac {1}{57}}<1} | F 1 ( t ) | = | e 2 π sinh 2 G ( t ) | < e 2 π e 2 < e 15 π {\displaystyle |F_{1}(t)|=\left|e^{2{\pi }\sinh ^{2}{G(t)}}\right|<{e^{2{\pi }e^{2}}}<e^{15\pi }} となり sup | z | = | z 2 | | F ( z ) | ≤ sup | x | ≤ 1 59 | F 1 ( x ) | < e 15 π {\displaystyle \sup _{|z|=|z2|}|F(z)|\leq \sup _{|x|\leq {\tfrac {1}{59}}}|F_{1}(x)|<e^{15\pi }} となるが z 1 ∈ { z ∈ C : | z 2 | < | z | < e − 60 π } {\displaystyle z_{1}\in \{z\in \mathbb {C} :\;|z_{2}|<|z|<e^{-60\pi }\}} であり sup | z | = e − 60 π | F ( z ) | = M < | F ( z 1 ) | {\displaystyle \sup _{|z|=e^{-60\pi }}|F(z)|=M<|F(z_{1})|} であるから、最大値の原理により sup | z | = | z 2 | | F ( z ) | ≥ | F ( z 1 ) | > e 15 π {\displaystyle \sup _{|z|=|z2|}|F(z)|\geq {|F(z_{1})|}>e^{15\pi }} でなければならない。故に逆の仮定は矛盾を孕む。
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