台形公式への適用例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/10 07:27 UTC 版)
「二重指数関数型数値積分公式」の記事における「台形公式への適用例」の解説
積分 I = ∫ − 1 1 f ( x ) d x {\displaystyle I=\int _{-1}^{1}f(x)dx} の場合、変数変換 x = ϕ ( t ) = tanh ( π 2 sinh t ) {\displaystyle x=\phi (t)=\tanh \left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {t}\right)} によって積分は次のような形になる。 I = ∫ − ∞ ∞ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }f(\phi (t))\phi '(t)dt} これに、きざみ幅が等間隔 h {\displaystyle h} である台形公式を適用すると、 I h = h ∑ k = − ∞ ∞ f ( ϕ ( k h ) ) ϕ ′ ( k h ) {\displaystyle I_{h}=h\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\phi (kh))\phi '(kh)} を得る。さらに、この和を有限項までで打ち切ると、以下の数値積分公式が得られる： I h ( N ) = π 2 h ∑ k = − N − N + f ( tanh ( π 2 sinh ( k h ) ) ) cosh ( k h ) cosh 2 ( π 2 sinh ( k h ) ) , N = N − + N + + 1 {\displaystyle I_{h}^{(N)}=\displaystyle {\frac {\pi }{2}}h\sum _{k=-N_{-}}^{N_{+}}f{\Bigl (}\tanh \left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {(kh)}\right){\Bigr )}{\dfrac {\cosh {(kh)}}{\cosh ^{2}\left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {(kh)}\right)}},N=N_{-}+N_{+}+1} 。 ここで、 N {\displaystyle N} は被積分関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の関数値を評価する回数である。 N − {\displaystyle N_{-}} と N + {\displaystyle N_{+}} は、離散化誤差( Δ I = I − I h {\displaystyle \Delta I=I-I_{h}} )と打ち切り誤差( ε = I h − I h ( N ) {\displaystyle \varepsilon =I_{h}-I_{h}^{(N)}} )がほぼ等しくなるように決める。
※この「台形公式への適用例」の解説は、「二重指数関数型数値積分公式」の解説の一部です。
「台形公式への適用例」を含む「二重指数関数型数値積分公式」の記事については、「二重指数関数型数値積分公式」の概要を参照ください。
- 台形公式への適用例のページへのリンク
