台形による近似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/05 15:35 UTC 版)
x ∈(a,b) のとき f (x) > 0 とする。定積分 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} の値は、xy 座標平面上で曲線 y = f (x) と x 軸、 x = a、 x = b とで囲まれた図形の面積になる。一般に積分計算は複雑であることも多いが、近似値が欲しいだけであれば f (x) を一次関数で近似することによりこの図形は台形とみなすことができるので ∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) f ( a ) + f ( b ) 2 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}} のように、台形の面積公式を用いて簡単に計算できる。 この公式は曲線 y = f (x) が直線に近いほど精度がよくなるが、直線とは全く異なる曲線であれば精度が悪くなり欲しい近似値を得ることが難しくなってくる。そこで、この積分をより正確に計算するために、 a = a0 < a1 < … < an = b として積分区間 [a, b] をより小さいn 個の部分区間 [a0,a1], [a1,a2], … , [an−1,an] に分け、それぞれの区間で台形とみなして面積を近似計算する。 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a 0 a 1 f ( x ) d x + ∫ a 1 a 2 f ( x ) d x + ⋯ + ∫ a n − 1 a n f ( x ) d x = ∑ k = 1 n ∫ a k − 1 a k f ( x ) d x ≈ ∑ k = 1 n ( a k − a k − 1 ) f ( a k − 1 ) + f ( a k ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{a_{0}}^{a_{1}}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{a_{1}}^{a_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{a_{n-1}}^{a_{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{a_{k-1}}^{a_{k}}f(x)\,\mathrm {d} x\\&\approx \sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1}){\frac {f(a_{k-1})+f(a_{k})}{2}}\end{aligned}}}
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