円筒座標の淀み面上におけるバーガース渦
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 10:02 UTC 版)
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伸長した円筒座標の淀み面上におけるバーガース渦についてのナビエ–ストークス方程式の陽解法が2021年に議論された。円筒座標系において方程式は以下の速度場に従う。 v r = − α ( r − r s 2 r ) , {\displaystyle v_{r}=-\alpha \left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),} v z = 2 α z , {\displaystyle v_{z}=2\alpha z,} v θ = Γ 2 π r P ( 1 + α r s 2 2 ν , α r 2 2 ν ) , {\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}P\left(1+{\frac {\alpha r_{s}^{2}}{2\nu }},{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right),} ここで α > 0 {\displaystyle \alpha >0} は伸長度、 r s ≥ 0 {\displaystyle r_{s}\geq 0} は円筒座標上の淀み面の場所である。 Γ > 0 {\displaystyle \Gamma >0} は循環。 P {\displaystyle P} は不完全ガンマ関数である。この解はポテンシャル流による線状の強制（英語版） Q = 2 π α r s 2 {\displaystyle Q=2\pi \alpha r_{s}^{2}} が存在する場合のバーガース渦の表現に他ならない。渦度は非自明な z {\displaystyle z} 軸方向の成分のみ与えられ、以下のように表現される。 ω z = α Γ 2 π ν Γ ~ ( 1 + α r s 2 / 2 ν ) ( α r 2 2 ν ) α r s 2 / 2 ν exp ( − α r 2 2 ν ) {\displaystyle \omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu {\tilde {\Gamma }}(1+\alpha r_{s}^{2}/2\nu )}}\left({\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)^{\alpha r_{s}^{2}/2\nu }\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)} ここで Γ ~ {\displaystyle {\tilde {\Gamma }}} はガンマ関数である。 r s → 0 {\displaystyle r_{s}\rightarrow 0} のとき関数はバーガース渦へ近づき、 r s → ∞ {\displaystyle r_{s}\rightarrow \infty } のときバーガース渦レイヤーの解に近づく。円筒座標上の淀み面におけるサリバン渦の陽な解も存在する。
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