公式に関する注意点
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/12 14:17 UTC 版)
「ヤコビの虚数変換式」の記事における「公式に関する注意点」の解説
θ i ( z , τ ) {\displaystyle \theta _{i}(z,\tau )} の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である(主として、 θ i j ( z , τ ) {\displaystyle \theta _{ij}(z,\tau )} の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従った次のようなものである。 θ 0 ( z , τ ) := θ 01 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n ( z + 1 2 ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n e π i τ n 2 cos 2 n π z , θ 1 ( z , τ ) := − θ 11 ( z , τ ) := − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( z + 1 2 ) = 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n e π i τ ( n + 1 2 ) 2 sin ( 2 n + 1 ) π z , θ 2 ( z , τ ) := θ 10 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) z = 2 ∑ n = 0 ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 cos ( 2 n + 1 ) π z , θ 3 ( z , τ ) := θ 00 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n z = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ e π i τ n 2 cos 2 n π z . {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}(z,\tau )&:=\theta _{01}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi in\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}\cos 2n\pi z,\\\theta _{1}(z,\tau )&:=-\theta _{11}(z,\tau )\\&:=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\sin(2n+1)\pi z,\\\theta _{2}(z,\tau )&:=\theta _{10}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\cos(2n+1)\pi z,\\\theta _{3}(z,\tau )&:=\theta _{00}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi inz}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}\cos 2n\pi z.\end{aligned}}} 「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。
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