光学における群速度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/26 01:20 UTC 版)
非線形な光パルスを扱う際、光学材料中を伝播する時、分散の効果と非線形光学効果（主に自己位相変調）により光パルスの波形が変化する。光パルスには時間位相とスペクトル位相の二つの位相がある。スペクトル位相に関しては、光が媒質中を通る時、群速度分散が生じる（厳密には、分散が生じない媒質は真空だけである）。 群速度分散がない場合（重ね合わせた波の波数と周波数が比例するとき、すなわち、ω/k が全て等しいとき）、群速度は位相速度と一致する。 分散があると、波数ベクトルkを中心周波数 ω0 の周りで展開することができる。 ω = ω 0 + Δ ω {\displaystyle \omega =\omega _{0}+\Delta \omega } とおくと、スペクトル位相 k ( ω ) {\displaystyle k(\omega )} は次のように表せる。 k ( ω ) = k ( ω 0 ) + d k d ω Δ ω + 1 2 d 2 k d ω 2 Δ ω 2 + . . . = ω 0 v p + 1 v g Δ ω + 1 2 k 2 Δ ω 2 + . . . {\displaystyle {\begin{aligned}k(\omega )&=k(\omega _{0})+{\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \omega }}\Delta \omega +{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}k}{\mathrm {d} \omega ^{2}}}\Delta \omega ^{2}+...\\&={\frac {\omega _{0}}{v_{\mathrm {p} }}}+{\frac {1}{v_{\mathrm {g} }}}\Delta \omega +{\frac {1}{2}}k_{2}\Delta \omega ^{2}+...\end{aligned}}} この時、第一項が中心周波数における位相速度で、第二項の vg が群速度にあたる。また、光速を c, 群屈折率を ng とおくと、 1 v g = d k d ω = 1 c d ( ω n ) d ω = n g c {\displaystyle {\frac {1}{v_{\mathrm {g} }}}={\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \omega }}={\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} (\omega n)}{\mathrm {d} \omega }}={\frac {n_{\mathrm {g} }}{c}}} 群屈折率 ng を以下のように表すこともできる。 n g = d ( ω n ) d ω = n + ω d n d ω = n − λ d n d λ {\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {\mathrm {d} (\omega n)}{\mathrm {d} \omega }}=n+\omega {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}=n-\lambda {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda }}}
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