例：4次拡大
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 03:25 UTC 版)
K を Q2 上 x 1 = 2 + 2 {\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}\ }}} で生成される拡大体とする。x1 の共役は x 2 = 2 − 2 {\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}\ }}} と x3 = −x1 と x4 = −x2 である。 簡単な計算からこれらの元の任意の2つの商は単数であることが分かる。したがってこれらは全て同じイデアルを生成する。そのイデアルを π と置く。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は π2 を生成し、(2)=π4 である。 x1 − x3 = 2x1 で、これは π5 に入る。 x 1 − x 2 = 4 − 2 2 {\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}\,\,}}} は π3 に入る。 計算方法は色々あるが、K のガロア群は位数 4 の巡回群 C 4 {\displaystyle C_{4}} であることが分かる。そして、 G 0 = G 1 = G 2 = C 4 {\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}} かつ G 3 = G 4 = ( 13 ) ( 24 ) {\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24)} である。 w ( D K / Q 2 ) = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11 {\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11} なので、共役差積は D K / Q 2 = π 11 {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}} となる。 x1 は x4 − 4x2 + 2 を満たし、これの判別式は 2048 = 211 である。
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