位置エネルギーと重力ポテンシャル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:09 UTC 版)
「重力ポテンシャル」の記事における「位置エネルギーと重力ポテンシャル」の解説
重力ポテンシャルとは単位質量あたりの位置エネルギーに等しいから、位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} にある質量 m {\displaystyle m} の粒子が持つ位置エネルギー U ( r ) {\displaystyle U({\boldsymbol {r}})} は、その点の重力ポテンシャル Φ ( r ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})} と U ( r ) = m Φ ( r ) {\displaystyle U({\boldsymbol {r}})=m\Phi ({\boldsymbol {r}})} という関係にある。それ故に、この粒子に働く力 F ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})} は F ( r ) = − ∇ U ( r ) = − m ∇ Φ ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\boldsymbol {\nabla }}U({\boldsymbol {r}})=-m{\boldsymbol {\nabla }}\Phi ({\boldsymbol {r}})} と書くことができる。つまり重力ポテンシャルの勾配の -1 倍はその点での重力加速度 g {\displaystyle {\boldsymbol {g}}} に等しい。 g ( r ) = − ∇ Φ ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {r}})=-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi ({\boldsymbol {r}})} 逆に、重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } は基準点（通常は無限遠点）から空間内の与えられた位置へ物体が重力だけの作用で移動したときに獲得する単位質量あたりのエネルギー (つまり重力がする仕事) の符号を反転したものであるとも解釈できる。 Φ ( r ) = − 1 m ∫ ∞ r F ( r ′ ) ⋅ d r ′ {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})=-{\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}')\cdot d{\boldsymbol {r}}'} 例えば一様重力場中では、重力加速度の向きを z 軸負の向きに選ぶとき (つまり鉛直上向きを z 軸とする)、重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } は Φ ( z ) = g z {\displaystyle \Phi (z)=gz} により与えられる。従って高度差 Δ h {\displaystyle \Delta h} の二点間での質量 m {\displaystyle m} の物体の位置エネルギーの差 Δ U {\displaystyle \Delta U} は Δ U = m g Δ h {\displaystyle \Delta U=mg\Delta h} と書ける。
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