位置の固有ケットと波動関数への作用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/09 14:53 UTC 版)
「並進演算子 (量子力学)」の記事における「位置の固有ケットと波動関数への作用」の解説
並進演算子 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} は粒子や場を x だけ動かす。したがって、位置演算子の固有状態 |r⟩ （つまり粒子の位置が確実に r の状態）に T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} を作用させると、その位置は (r + x) に移る。 T ^ ( x ) | r ⟩ = | r + x ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {r}}\rangle =|{\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {x}}\rangle } 並進演算子の性質を記述する別の（等価な）方法は、位置空間の波動関数に基づくものである。粒子が位置空間の波動関数 ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})} を持ち、 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} が粒子に作用したとき、新しい位置空間の波動関数 ψ ′ ( r ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})} は ψ ′ ( r ) = ψ ( r − x ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})} で定義される。この関係は ψ ′ ( r + x ) = ψ ( r ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {x}})=\psi ({\boldsymbol {r}})} とするとより覚えやすく、「新しい位置での新しい波動関数の値は、元々の位置での元々の波動関数の値に等しい」。 これら２つの記述が等価であることの例を示す。状態 |a⟩ は、波動関数 ψ ( r ) = δ ( r − a ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {a}})} に対応する(ここで δ はディラックのデルタ関数)。一方で状態 T ^ ( x ) | a ⟩ = | a + x ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {a}}\rangle =|{\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {x}}\rangle } は、波動関数 ψ ′ ( r ) = δ ( r − ( a + x ) ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\delta ({\boldsymbol {r}}-({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {x}}))} に対応する。これらは ψ ′ ( r ) = ψ ( r − x ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})} を満足する。 波動関数への並進演算子の作用のより一般的な導出:位置演算子 ^r はオブザーバブルであるため、その固有ベクトルの全体 { | r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} は状態空間の基底をなす。 よってそれぞれのケットを、 { | r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示の波動関数で特徴づけることができる。 ψ ( r ) = ⟨ r | ψ ⟩ {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})=\langle {\boldsymbol {r}}|\psi \rangle } { | r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示で ケット r ^ | ψ ⟩ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}|\psi \rangle } の { | r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示の波動関数を考える。 位置演算子 ^r はエルミートで、|r⟩ は位置演算子 ^r の固有値 r についての固有ベクトルであることを用いると、 ⟨ r | r ^ | ψ ⟩ = r ⟨ r | ψ ⟩ = r ψ ( r ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {r}}|{\boldsymbol {\hat {r}}}|\psi \rangle ={\boldsymbol {r}}\langle {\boldsymbol {r}}|\psi \rangle ={\boldsymbol {r}}\psi ({\boldsymbol {r}})} よって { | r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示での ^r の作用は、単純な r 倍である。 後のセクションで説明するように、並進演算子が位置の固有基底でのブラに作用したときは次のようになる。 ⟨ r | T ^ ( x ) = ⟨ r − x | {\displaystyle \langle {\boldsymbol {r}}|{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})=\langle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}}|} よってケット T ^ ( x ) | ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|\psi \rangle } の { | r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示の波動関数は次のように書ける。 ⟨ r | T ^ ( x ) | ψ ⟩ = ⟨ r − x | ψ ⟩ = ψ ( r − x ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {r}}|{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|\psi \rangle =\langle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}}|\psi \rangle =\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})}
※この「位置の固有ケットと波動関数への作用」の解説は、「並進演算子 (量子力学)」の解説の一部です。
「位置の固有ケットと波動関数への作用」を含む「並進演算子 (量子力学)」の記事については、「並進演算子 (量子力学)」の概要を参照ください。
- 位置の固有ケットと波動関数への作用のページへのリンク
