任意座標系への応力の変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 06:32 UTC 版)
真応力はテンソル量であり、座標系によってその成分は変化することとなる。応力テンソルの座標系変換式は以下で表される。 σ ′ = A σ A T {\displaystyle \sigma '=A\sigma A^{\mathrm {T} }} ここで、 σは変換前の座標系における応力テンソル、σ' は変換後の座標系における応力テンソル、A は回転行列 、AT はA の転置行列である。各成分で表すと以下の通りである。 ( σ 11 ′ σ 12 ′ σ 13 ′ σ 21 ′ σ 22 ′ σ 23 ′ σ 31 ′ σ 32 ′ σ 33 ′ ) = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ) ( a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{pmatrix}}} ここで、aij は2つの座標間の方向余弦で、各座標軸とは下記の表のような関係となる。 x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 {\displaystyle x_{2}} x 3 {\displaystyle x_{3}} x 1 ′ {\displaystyle x'_{1}} a 11 {\displaystyle a_{11}} a 12 {\displaystyle a_{12}} a 13 {\displaystyle a_{13}} x 2 ′ {\displaystyle x'_{2}} a 21 {\displaystyle a_{21}} a 22 {\displaystyle a_{22}} a 23 {\displaystyle a_{23}} x 3 ′ {\displaystyle x'_{3}} a 31 {\displaystyle a_{31}} a 32 {\displaystyle a_{32}} a 33 {\displaystyle a_{33}} 上式を展開すると、3次元応力状態での各応力の変換式は以下のようになる。 σ 11 ′ = a 11 2 σ 11 + a 12 2 σ 22 + a 13 2 σ 33 + 2 a 11 a 12 σ 12 + 2 a 11 a 13 σ 13 + 2 a 12 a 13 σ 23 {\displaystyle \sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23}} σ 22 ′ = a 21 2 σ 11 + a 22 2 σ 22 + a 23 2 σ 33 + 2 a 21 a 22 σ 12 + 2 a 21 a 23 σ 13 + 2 a 22 a 23 σ 23 {\displaystyle \sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23}} σ 33 ′ = a 31 2 σ 11 + a 32 2 σ 22 + a 33 2 σ 33 + 2 a 31 a 32 σ 12 + 2 a 31 a 33 σ 13 + 2 a 32 a 33 σ 23 {\displaystyle \sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23}} σ 12 ′ = a 11 a 21 σ 11 + a 12 a 22 σ 22 + a 13 a 23 σ 33 + ( a 11 a 22 + a 12 a 21 ) σ 12 + ( a 12 a 23 + a 13 a 22 ) σ 23 + ( a 11 a 23 + a 13 a 21 ) σ 13 {\displaystyle \sigma _{12}'=a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13}} σ 23 ′ = a 21 a 31 σ 11 + a 22 a 32 σ 22 + a 23 a 33 σ 33 + ( a 21 a 32 + a 22 a 31 ) σ 12 + ( a 22 a 33 + a 23 a 32 ) σ 23 + ( a 21 a 33 + a 23 a 31 ) σ 13 {\displaystyle \sigma _{23}'=a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13}} σ 13 ′ = a 11 a 31 σ 11 + a 12 a 32 σ 22 + a 13 a 33 σ 33 + ( a 11 a 32 + a 12 a 31 ) σ 12 + ( a 12 a 33 + a 13 a 32 ) σ 23 + ( a 11 a 33 + a 13 a 31 ) σ 13 {\displaystyle \sigma _{13}'=a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}} 平面応力状態での応力変換式は以下の通りである。 σ 11 ′ = a 11 2 σ 11 + a 12 2 σ 22 + 2 a 11 a 12 σ 12 {\displaystyle \sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}} σ 22 ′ = a 21 2 σ 11 + a 22 2 σ 22 + 2 a 21 a 22 σ 12 {\displaystyle \sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}} σ 12 ′ = a 11 a 21 σ 11 + a 12 a 22 σ 22 + ( a 11 a 22 + a 12 a 21 ) σ 12 {\displaystyle \sigma _{12}'=a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}} ここで座標軸間の角度θを用いて上式を書き直した場合は以下の通りである。 σ 11 ′ = σ 11 cos 2 θ + σ 22 sin 2 θ + 2 σ 12 cos θ sin θ {\displaystyle \sigma _{11}'=\sigma _{11}\cos ^{2}\theta +\sigma _{22}\sin ^{2}\theta +2\sigma _{12}\cos \theta \sin \theta } σ 22 ′ = σ 11 sin 2 θ + σ 22 cos 2 θ − 2 σ 12 cos θ sin θ {\displaystyle \sigma _{22}'=\sigma _{11}\sin ^{2}\theta +\sigma _{22}\cos ^{2}\theta -2\sigma _{12}\cos \theta \sin \theta } σ 12 ′ = ( σ 11 − σ 22 ) cos θ sin θ + σ 12 ( cos 2 θ − sin 2 θ ) {\displaystyle \sigma _{12}'=(\sigma _{11}-\sigma _{22})\cos \theta \sin \theta +\sigma _{12}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )} x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 {\displaystyle x_{2}} x 1 ′ {\displaystyle x'_{1}} a 11 ( = cos θ ) {\displaystyle a_{11}(=\cos \theta )} a 12 ( = sin θ ) {\displaystyle a_{12}(=\sin \theta )} x 2 ′ {\displaystyle x'_{2}} a 21 ( = − sin θ ) {\displaystyle a_{21}(=-\sin \theta )} a 22 ( = cos θ ) {\displaystyle a_{22}(=\cos \theta )} この変換を図示する方法として、モールの応力円が知られている。
※この「任意座標系への応力の変換」の解説は、「応力」の解説の一部です。
「任意座標系への応力の変換」を含む「応力」の記事については、「応力」の概要を参照ください。
- 任意座標系への応力の変換のページへのリンク
