モーザーの円分割問題とは？わかりやすく解説

幾何学においてモーザーの円分割問題^[1]（モーザーのえんぶんかつもんだい、英: dividing a circle into areas, Moser's circle problem）は円に内接する $n$ 角形の辺と対角線（円の弦）によって分割される円の領域の個数の最大化問題である。レオ・モーザー（英語版）に因み名づけられ、帰納法などで解決されている。領域の個数の最大値は $r_{G}={n \choose 4}+{n \choose 2}+1$

Lemma

円の上に $n$ 点を用意し、新たな1点 $A$ を取り円上を動かす。 $A$ ともとの $n$ 点を結ぶことにより $n$ つの線分を描く。今、新たに描いた線分が、もとの $n$ 点をそれぞれ結ぶ線分の交点のどれかを通る場合（これを $a$ とする）と、新たに書いた線分がもとの $n$ 点をそれぞれ結ぶ線分と先のどの交点とも異なる場所で交わる場合（これを $b$ とする）が考えられる。

補題: 円上に新たな点 $A$ を、場合 $b$ が起こるように定めることが可能である。

証明: 場合 $a$ では、 $A$ 、 $n$ 点のうちの1点 $O$ 、 $n$ 点をそれぞれ結ぶ線分のうち2つの交点 $I$ の3点が一直線上に存在する。 $O$ の取り方は $n$ 通りあるので $I$ の取り方も有限個となる。直線 $OI$ は $O$ と異なる点で再度円と交差するが、円上にはいくらでも多くの点が存在するから、 $A$ をどの直線 $OI$ 上にもない点として定めることができる。したがってこのような場合の点 $A$ とすべてのもとの $n$ 点 $O$ について場合 $b$ が実現される。

この補題は、 $k$ 本の線分が $AO$ と交わるとき、 $k$ 本の線分と $AO$ の交点をすべて異なる場所で交わるように設置し、新たに $k + 1$ 個の領域を生むことができることを意味する。

問題の解

帰納法

補題によって問題の解決のための重要な性質が確立された。数学的帰納法を用いて $n - 1$ 点の場合の領域の個数の最大値 $f (n - 1)$ により、 $n$ 点の場合の領域の個数の最大値 $f (n)$ を表現する。

図の実線の1, 2, 3, 4の点を通る線分は円を8つの領域に分割している（すなわち $f (4) = 8$ ）。図は $n = 4$ の場合から、破線を加えた $n = 5$ の場合を導くことを説明している。1, 2, 3, 4の点から5の点へ新たに4つの線分が結ばれている。この4線分の出現によって新しく生まれた領域の個数を数える。

一般に、図の1, 2, 3, 4のように数 $i$ を定める。新たな点とどの点とを結ぶか（ $i$ の値）に応じて、交差する既存の弦の本数が変わる。また、新たに加えられた弦同士は新たに取った1点以外の点で交わることはない。

新しい点と点 $i$ を結ぶ新たな弦が交わる既存の弦の個数は、新たな弦の「左側」にある点の個数と「右側」にある点の個数によって定められる。任意の既存の点はそれら同士が線分で結ばれているから、「左側」にある既存の点の個数と「右側」にある既存の点の個数の積は、円の内部で新しい弦と交わる既存の弦の個数と等しい。点 $i$ について、 $n - i - 1$ 個の点が「左側」に存在し $i - 1$ 個の点が「右側」に存在するとしたとき、円の内部で新たな弦と交わる既存の弦は $(n - i - 1)(i - 1)$ 本ある。

たとえば図（ $n = 5$ ）において $i = 1$ の場合と $i = 4$ の場合、つまり1と5、4と5を結ぶ線分は円の内部にて他のどの線分とも交わっていない。一方 $i = 2, i = 3$ の場合は、円の内部にて、もとの線分のうち2つと交わっている。

新たな弦に交わる既存の弦らが成している領域の個数は、弦の個数に1を加えた値と等しい。新たに加えた弦によってそれぞれの領域は2つに分割されるので、次の式が成立する。

f(n)=f(n-1)+\sum _{i=1}^{n-1}{\big (}1+(n-i-1)(i-1){\big )}.

[1] 竹山, 美宏『定理のつくりかた』森北出版、2018年2月、38頁。ISBN 978-4-627-06231-3。

[FOOTNOTEウリーン2011中村2013-2] ウリーン 2011; 中村 2013.

[3] Guy, R. K. (1988). “The Strong Law of Small Numbers”. Amer. Math. Monthly 95: 697-712.

[FOOTNOTEYaglomYaglom1964ConwayGuy1996-4] Yaglom & Yaglom 1964; Conway & Guy 1996.

[FOOTNOTE北島2011-5] 北島 2011.

[FOOTNOTEJobbings2008Le_Goff2012-6] Jobbings 2008; Le Goff 2012.

[7] Jaud, D. (2022). “Integer Sequences from Circle Divisions by Rational Billiard Trajectories”. Proceedings of the 20th International Conference on Geometry and Graphics. doi:10.1007/978-3-031-13588-0_8.

[8] A027423

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n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	...
r_G	1	2	4	8	16	31	57	99	163	256	386	562	794	1093	1471	1941	2517	3214	4048	5036	6196	7547	9109	10903	12951	...
r_G′	1	2	4	8	16	30	57	88	163	230	386	456	794	966	1471	1712	2517	2484	4048	4520	6196	6842	9109	9048	12951	...

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