マクマホンの基本定理

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マクマホンの基本定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 02:21 UTC 版)

「パーマネント (数学)」の記事における「マクマホンの基本定理」の解説

詳細は「マクマホンの基本定理（英語版）」を参照 パーマネントを多変数母函数を通じて解釈する視点もある。n-次正方行列 A = (aij) に対して、多変数母函数 F ( x 1 , x 2 , … , x n ) := ∏ i = 1 n ( ∑ j = 1 n a i j x j ) = ( ∑ j = 1 n a 1 j x j ) ( ∑ j = 1 n a 2 j x j ) ⋯ ( ∑ j = 1 n a n j x j ) を考えると、F(x1, x2, …, xn) における x 1 x 2 … x n {\textstyle x_{1}x_{2}\dots x_{n}} の係数は perm(A) に等しい:14。 このことの一般化として、 定義 任意の長さ n の非負整数列 s 1 , s 2 , … , s n {\textstyle s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{n}} に対して perm ( s 1 , s 2 , … , s n ) ⁡ ( A ) {\textstyle \operatorname {perm} ^{(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})}(A)} を ( ∑ j = 1 n a 1 j x j ) s 1 ( ∑ j = 1 n a 2 j x j ) s 2 ⋯ ( ∑ j = 1 n a n j x j ) s n {\textstyle \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{s_{1}}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j}\right)^{s_{2}}\cdots \left(\sum _{j=1}^{n}a_{nj}x_{j}\right)^{s_{n}}} における x 1 s 1 x 2 s 2 ⋯ x n s n の係数 と定める。 定理 (MacMahon's Master Theorem) パーマネントと行列式の間の関係として、「 perm ( s 1 , s 2 , … , s n ) ⁡ ( A ) {\textstyle \operatorname {perm} ^{(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})}(A)} は 1 det ( I − X A ) {\textstyle {\frac {1}{\det(I-XA)}}} における x 1 s 1 x 2 s 2 ⋯ x n s n {\textstyle x_{1}^{s_{1}}x_{2}^{s_{2}}\cdots x_{n}^{s_{n}}} の係数に等しい」 が成り立つ:17。ただし、I は n-次単位行列で、X は対角成分が (x1, x2, …, xn) である対角行列とする。