ポストの定理とその系とは? わかりやすく解説

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ポストの定理とその系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 10:09 UTC 版)

ポストの定理」の記事における「ポストの定理とその系」の解説

ポストの定理は、算術的階層と ∅ ( n ) {\displaystyle \emptyset ^{(n)}} の形式チューリング次数、すなわち空集合有限反復しチューリングジャンプとの密接な関係を確立する空集合任意の計算可能な集合置き換えて定理成り立つ)。 ポストの定理次の通りである。 集合 B が Σ n + 1 0 {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{0}} であるのは、 B {\displaystyle B} が ∅ ( n ) {\displaystyle \emptyset ^{(n)}} の神託機械を持つチューリング機械により帰納枚挙場合である。すなわち、B が Σ 1 0 , ∅ ( n ) {\displaystyle \Sigma _{1}^{0,\emptyset ^{(n)}}} で表される場合である。 集合 ∅ ( n ) {\displaystyle \emptyset ^{(n)}} は、 n > 0 {\displaystyle n>0} のあらゆる n について Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} 完全である。すなわち、 Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} のあらゆる集合は ∅ ( n ) {\displaystyle \emptyset ^{(n)}} に多対一還元可能である。 ポストの定理には様々な系があり、算術的階層チューリング次数様々な関係を表している。例えば、以下のような系がある。 ある集合 C があるとする。集合 B が Σ n + 1 0 , C {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{0,C}} であるのは、B が Σ 1 0 , C ( n ) {\displaystyle \Sigma _{1}^{0,C^{(n)}}} となることと等価である。これはポストの定理前半部分を C の神託機械相対化したものである。 集合 B が Δ n + 1 {\displaystyle \Delta _{n+1}} であるのは、 B ≤ T ∅ ( n ) {\displaystyle B\leq _{T}\emptyset ^{(n)}} と等価である。より一般化すると、B が Δ n + 1 C {\displaystyle \Delta _{n+1}^{C}} であるのは、 B ≤ T C ( n ) {\displaystyle B\leq _{T}C^{(n)}} と等価である。 集合算術的に定義できるのは、ある n について Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} である場合である。ポストの定理によれば集合算術的といえるのは、その集合をある m について ∅ ( m ) {\displaystyle \emptyset ^{(m)}} にチューリング還元可能な場合のみである。

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