ブラーマグプタの四辺形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/18 00:45 UTC 版)
「共円四辺形」の記事における「ブラーマグプタの四辺形」の解説
ブラーマグプタ (Brahmagupta) の四辺形とは、辺の長さおよび対角線の長さが全て整数で面積も整数となる共円四辺形をいう。すべてのブラーマグプタの四辺形は、その辺の長さを a, b, c, d, 対角線の長さを e,f とし、面積を K, 外半径を R と書けば、有理数の範囲を動くパラメータ t, u, v を用いて書ける以下の公式 a = [ t ( u + v ) + ( 1 − u v ) ] [ u + v − t ( 1 − u v ) ] b = ( 1 + u 2 ) ( v − t ) ( 1 + t v ) c = t ( 1 + u 2 ) ( 1 + v 2 ) d = ( 1 + v 2 ) ( u − t ) ( 1 + t u ) e = u ( 1 + t 2 ) ( 1 + v 2 ) f = v ( 1 + t 2 ) ( 1 + u 2 ) K = u v [ 2 t ( 1 − u v ) − ( u + v ) ( 1 − t 2 ) ] [ 2 ( u + v ) t + ( 1 − u v ) ( 1 − t 2 ) ] 4 R = ( 1 + u 2 ) ( 1 + v 2 ) ( 1 + t 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}a&=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]\\b&=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)\\c&=t(1+u^{2})(1+v^{2})\\d&=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)\\e&=u(1+t^{2})(1+v^{2})\\f&=v(1+t^{2})(1+u^{2})\\K&=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]\\4R&=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2})\end{aligned}}} から、分母を払う（英語版） ことで得られる。
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