フュルステンベルグ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:37 UTC 版)
「素数が無数に存在することの証明」の記事における「フュルステンベルグ」の解説
フュルステンベルグの証明は、トポロジーを用いたものである。彼は、まだ学部生であった1955年に、証明を発表した。 整数全体からなる集合 Z に、両方向への無限等差数列 a Z + b = { a x + b ∣ x ∈ Z } {\displaystyle a\mathbb {Z} +b=\{ax+b\mid x\in \mathbb {Z} \}} （ただし、a, b は整数で、a ≠ 0）全体を開基とする位相を定める。換言すれば、この位相における開集合は、（空集合であるか）任意個の無限等差数列の和集合である。このとき、空でない有限集合は開集合ではないことに注意する。 任意の無限等差数列は、開集合であると同時に、 a Z + b = Z ∖ ( ⋃ i = 1 a − 1 ( a Z + b + i ) ) {\displaystyle a\mathbb {Z} +b=\mathbb {Z} \setminus \left(\bigcup _{i=1}^{a-1}(a\mathbb {Z} +b+i)\right)} という表示により、閉集合でもある。p1, …, pn が素数全体と仮定すると、 A := ⋃ i = 1 n p i Z {\displaystyle A:=\bigcup _{i=1}^{n}p_{i}\mathbb {Z} } は有限個の閉集合の和集合であるから閉集合である。したがって閉集合 A の補集合 Ac = Z∖A は開集合である。ところが ±1 以外の任意の整数は何らかの素数で割り切れるから、Ac = {±1} である。これは空でない有限集合であるため開集合ではなく、矛盾が生じる。
※この「フュルステンベルグ」の解説は、「素数が無数に存在することの証明」の解説の一部です。
「フュルステンベルグ」を含む「素数が無数に存在することの証明」の記事については、「素数が無数に存在することの証明」の概要を参照ください。
- フュルステンベルグのページへのリンク
