ファイブレーションの長完全列

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ファイブレーションの長完全列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/23 14:48 UTC 版)

「ホモトピー群」の記事における「ファイブレーションの長完全列」の解説

p: E → B をファイバーを F とする基点を保つセール・ファイブレーション（英語版）とする、つまり、CW複体（英語版）に関してホモトピーリフトの性質（英語版）を持つ写像とする。B は弧状連結であるとする。このときホモトピー群の長完全列 ... → πn(F) → πn(E) → πn(B) → πn−1(F) →... → π0(E) → 0 が存在する。ここで π0 に関する写像は π0 が群でないから群準同型ではないが、像は核に等しいという意味で完全である。 例： ホップ・ファイブレーション（英語版）。B を S2 とし E を S3 とする。p をホップ・ファイブレーションとする。ファイバーは S1 である。長完全列 ⋯ → πn(S1) → πn(S3) → πn(S2) → πn−1(S1) → ⋯ と、n ≥ 2 のとき πn(S1) = 0 であることから、n ≥ 3 のとき πn(S3) = πn(S2) であることが分かる。とくに、π3(S2) = π3(S3) = Z である。 被覆空間の場合には、ファイバーが離散的なとき、次のことが成り立つ。すべての n > 1 に対して、πn(E) は πn(B) に同型であり、すべての n > 0 に対して πn(E) は πn(B) に単射に埋め込まれ、π1(E) の埋め込みに対応する π1(B) の部分群はファイバーの元たちと全単射に対応する剰余集合を持つ。