パウリ行列の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/17 17:34 UTC 版)
2状態系の演算子の記述には、パウリ行列による表現が適用できる。エルミート演算子 σ ^ 1 = | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}=|1\rangle \langle 2|+|2\rangle \langle 1|} σ ^ 2 = − i ( | 1 ⟩ ⟨ 2 | − | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}=-i(|1\rangle \langle 2|-|2\rangle \langle 1|)} σ ^ 3 = | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{3}=|1\rangle \langle 1|-|2\rangle \langle 2|} を導入すると、これらは関係式 σ ^ 1 2 = σ ^ 2 2 = σ ^ 3 2 = I ^ {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{\,2}={\hat {\sigma }}_{2}^{\,2}={\hat {\sigma }}_{3}^{\,2}={\hat {I}}} σ ^ 1 σ ^ 2 = − σ ^ 2 σ ^ 1 = i σ ^ 3 , σ ^ 2 σ ^ 3 = − σ ^ 3 σ ^ 2 = i σ ^ 1 , σ ^ 3 σ ^ 1 = − σ ^ 1 σ ^ 3 = i σ ^ 2 {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}{\hat {\sigma }}_{2}=-{\hat {\sigma }}_{2}{\hat {\sigma }}_{1}=i{\hat {\sigma }}_{3},\quad {\hat {\sigma }}_{2}{\hat {\sigma }}_{3}=-{\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\sigma }}_{2}=i{\hat {\sigma }}_{1},\quad {\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\sigma }}_{1}=-{\hat {\sigma }}_{1}{\hat {\sigma }}_{3}=i{\hat {\sigma }}_{2}} を満たす。 特に状態ベクトル |1⟩, |2⟩ を特定の基底 | 1 ⟩ = ( 1 0 ) , | 2 ⟩ = ( 0 1 ) {\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,|2\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} と対応させたときに、^σk は σ ^ 1 = ( 0 1 1 0 ) , σ ^ 2 = ( 0 − i i 0 ) , σ ^ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad {\hat {\sigma }}_{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad {\hat {\sigma }}_{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}} となり、パウリ行列そのものになる。任意の演算子 A ^ = A 11 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + A 12 | 1 ⟩ ⟨ 2 | + A 21 | 2 ⟩ ⟨ 1 | + A 22 | 2 ⟩ ⟨ 2 | ( A α β = ⟨ α | A ^ | β ⟩ ) {\displaystyle {\hat {A}}=A_{11}|1\rangle \langle 1|+A_{12}|1\rangle \langle 2|+A_{21}|2\rangle \langle 1|+A_{22}|2\rangle \langle 2|\quad (A_{\alpha \beta }=\langle \alpha |{\hat {A}}|\beta \rangle )} は恒等演算子 ^I と ^σk (k = 1, 2, 3) により、 A ^ = a 0 I ^ + a 1 σ ^ 1 + a 2 σ ^ 2 + a 3 σ ^ 3 = a 0 I ^ + a → ⋅ σ ^ → {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}&=a_{0}{\hat {I}}+a_{1}{\hat {\sigma }}_{1}+a_{2}{\hat {\sigma }}_{2}+a_{3}{\hat {\sigma }}_{3}\\&=a_{0}{\hat {I}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}\end{aligned}}} と展開できる。但し、展開係数は a 0 = 1 2 Tr ( A ^ ) = 1 2 ( A 11 + A 22 ) {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{11}+A_{22})} a 1 = 1 2 Tr ( σ ^ 1 A ^ ) = 1 2 ( A 21 + A 12 ) {\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{1}{\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{21}+A_{12})} a 2 = 1 2 Tr ( σ ^ 2 A ^ ) = i 2 ( A 12 − A 21 ) {\displaystyle a_{2}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{2}{\hat {A}})={\frac {i}{2}}(A_{12}-A_{21})} a 3 = 1 2 Tr ( σ ^ 3 A ^ ) = 1 2 ( A 11 − A 22 ) {\displaystyle a_{3}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{3}{\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{11}-A_{22})} で与えられる。特に ^A がエルミート演算子である場合、これらの展開係数は実数となる。
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