パウリ行列の積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)
パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = I {\displaystyle {\sigma _{1}}^{2}={\sigma _{2}}^{2}={\sigma _{3}}^{2}=I} また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。 σ 1 σ 2 = − σ 2 σ 1 = i σ 3 , σ 2 σ 3 = − σ 3 σ 2 = i σ 1 , σ 3 σ 1 = − σ 1 σ 3 = i σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=-\sigma _{2}\sigma _{1}=i\sigma _{3},\quad \sigma _{2}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{2}=i\sigma _{1},\quad \sigma _{3}\sigma _{1}=-\sigma _{1}\sigma _{3}=i\sigma _{2}} すなわち i, j, k = 1, 2, 3 について { σ i 2 = I = − i σ 1 σ 2 σ 3 σ i σ j = − σ j σ i ( i ≠ j ) {\displaystyle {\begin{cases}{\sigma _{i}}^{2}&=I=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (i\neq j)\end{cases}}} が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ δij とエディントンのイプシロン εijk を用いれば、これらをまとめて σ i σ j = δ i j I + i ∑ k = 1 3 ε i j k σ k ( i , j , k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}I+i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\qquad (i,j,k=1,2,3)} と書くことができる。
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