ハミルトンの運動方程式（正準方程式）から
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 01:44 UTC 版)
「調和振動子」の記事における「ハミルトンの運動方程式（正準方程式）から」の解説
調和振動子のポテンシャル U {\displaystyle U} は次のようになる。 U = 1 2 k x 2 {\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}} ただし x {\displaystyle x} は物体の位置である。ばねが自然長の時の位置を原点とする。ハミルトニアン H = T + U {\displaystyle H=T+U} を求めれば、運動はハミルトンの正準方程式にしたがう。 T {\displaystyle T} は運動エネルギー、 p {\displaystyle p} は運動量である。 H = 1 2 m p 2 + k 2 x 2 {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {k}{2}}x^{2}} ハミルトンの正準方程式は ∂ x ∂ t = ∂ H ∂ p {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial p}}} ∂ p ∂ t = − ∂ H ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}} である。ハミルトンの正準方程式から連立方程式が得られるが、これを解いても ニュートンの運動方程式 m x ¨ = − k x {\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx} を得るだけである。したがって、解は古典力学と同じ結果である。 また、ここで用いたハミルトニアンは量子力学でも使用する。
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