ネーター条件との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/29 07:03 UTC 版)
「アルティン加群」の記事における「ネーター条件との関係」の解説
環の場合と違って、アルティン加群だがネーター加群でないものが存在する。例えば、 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } の p-primary component、つまり、 Z [ 1 / p ] / Z {\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} } を考えよ。これは Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -加群としてp-準巡回群 Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })} と同型である。真増大列 ⟨ 1 / p ⟩ ⊂ ⟨ 1 / p 2 ⟩ ⊂ ⟨ 1 / p 3 ⟩ ⊂ ⋯ {\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \subset \cdots } は無限に続き、 Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })} は（従って Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } も）ネーター的でない。しかしすべての真の（この仮定は一般性を失わない）降鎖列は止まる。そのような列は整数 n 1 , n 2 , n 3 , … {\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots } に対して ⟨ 1 / n 1 ⟩ ⊇ ⟨ 1 / n 2 ⟩ ⊇ ⟨ 1 / n 3 ⟩ ⊇ ⋯ {\displaystyle \langle 1/n_{1}\rangle \supseteq \langle 1/n_{2}\rangle \supseteq \langle 1/n_{3}\rangle \supseteq \cdots } という形をしている。包含関係 ⟨ 1 / n i + 1 ⟩ ⊆ ⟨ 1 / n i ⟩ {\displaystyle \langle 1/n_{i+1}\rangle \subseteq \langle 1/n_{i}\rangle } によって n i + 1 {\displaystyle n_{i+1}} は n i {\displaystyle n_{i}} を割り切らなければならないので、 n 1 , n 2 , n 3 , … {\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots } は正整数の真の減少列である。それゆえ列は止まり、 Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })} はアルティン的である。 可換環上の任意の巡回アルティン加群はネーター加群でもあるが、非可換環上の巡回アルティン加群は長さが無限になり得る。このことは Hartley の記事で示されており、Hartley の記憶に捧げてPaul Cohn の記事でうまく要約されている。
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