テオドロスの螺旋とは？わかりやすく解説

螺旋の半径の成長は任意の $n$

フィリップ・J・デイヴィスによるテオドロスの螺旋を解析的につなげたもの。数字は整数である原点との距離。青は反対方向に螺旋を拡張したもの。

離散的なテオドロスの螺旋をどのように内挿して滑らかな曲線にするか、という問題は2001年にフィリップ・J・デイヴィスによって提案、解決された。階乗をガンマ関数に内挿するのにオイラーの公式を用いることを類推して、デイヴィスは次の式を用いた^[7]。

\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} :T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {i}{\sqrt {k}}}}{1+{\frac {i}{\sqrt {x+k}}}}}\qquad (-1<x<\infty )

$T (x)$ は実数 $x$ において、螺旋の複素平面上の座標を表す。ジェフリー・J・リーダー（英語版）とArieh Iserles（英語版）はさらにこの関数を研究した。次の関数方程式の解は一意的に $T (x)$ のみに定まる。

f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),

初期条件は $f (0) = 1$ かつ、偏角と絶対値において、単調増加であることである^[8]。

解析的なデイヴィスの連続化は原点から反対方向の螺旋へと拡張できる^[9]。

図に、元の離散的なテオドロスの螺旋の節を緑の円で示してある。青い円は螺旋を反対方向に繋げたもので、整数の範囲で $n$ 番目の点の極半径が $r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}$ となっている。破線の円は原点 $O$ における曲率円である。

出典

^ ^a ^b ^c ^d ^e Hahn, Harry K. (2007), The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral, arXiv:0712.2184
^ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of ${\sqrt {-1}}$ , Princeton University Press, p. 33, ISBN 0-691-02795-1
^ Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, pp. 86–87
^ ^a ^b Long, Kate, A Lesson on The Root Spiral, オリジナルの11 April 2013時点におけるアーカイブ。 2008年4月30日閲覧。
^ Teuffel, Erich (1958), “Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke”, Mathematisch-Physikalische Semesterberichte zur Pflege des Zusammenhangs von Schule und Universität 6: 148–152, MR 96160
^ Hahn, Harry K. (2008), The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the square root spiral, arXiv:0801.4422
^ Davis (2001), pp. 37–38.
^ Gronau (2004).
^ Waldvogel (2009).

Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
Gronau, Detlef (March 2004), “The Spiral of Theodorus”, The American Mathematical Monthly 111 (3): 230–237, doi:10.2307/4145130, JSTOR 4145130, https://jstor.org/stable/4145130
Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), “The functional equation of the square root spiral”, in T. M. Rassias, Functional Equations and Inequalities, pp. 111–117
Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral