テオドロスの螺旋とは？わかりやすく解説

テオドロスの螺旋（テオドロスのらせん、英: spiral of Theodorus, square root spiral, Pythagorean spiral, Pythagoras's snail）は、底辺を前の直角三角形の斜辺、高さを1とする直角三角形で構成された渦巻である^[1]。キュレネのテオドロスの名を冠する。

構成

テオドロスの螺旋は、底辺と高さを1とする直角二等辺三角形 $T 1$ から始まる。次に底辺を $T 1$ の斜辺（長さは2の正の平方根）、高さを1とする直角三角形 $T 2$ を、 $T 1$ の外側にかく。

さらに、底辺を $T 2$ の斜辺（長さは3の正の平方根）、高さを1とする、 $T 2$ の斜辺と高さの間の点に直角を携えた、 $T 2$ の外側にある直角三角形 $T 3$ をかく。

以後、一般に $n - 1$ 回目の直角三角形 $T n - 1$ の外側に、 $T n - 1$ の斜辺を底辺とし、 $T n - 1$ の斜辺と高さの間の頂点に直角を携える、高さ1の直角三角形 $T n$ を作る。この直角三角形の連なりをテオドロスの螺旋という。例えば $T 16$ は、底辺の長さが $\sqrt 16 = 4$ 、高さが1、斜辺の長さが $\sqrt 17$ の三角形となる。

歴史

テオドロスの作品は失われたが、プラトンの作品である『テアイテトス』の回想部で彼の功績が伝えられた。テオドロスは、テオドロスの螺旋を用いて平方数でない3から17の数の平方根は無理数であることを示したと言われている^[2]。

テオドロスが2の平方根の証明に関与していないことはよく知られていたため、プラトンもそれをテオドロスに帰さなかった。テオドロスと数学者テアイテトスは、異なる方法で有理数と無理数を分別した^[3]。

斜辺

$n$ 個目の三角形の斜辺の長さ $h n$ は自然数 $n + 1$ の正の平方根となる。

テオドロスに師事したプラトンは、なぜテオドロスは $\sqrt 17$ で止めてしまったのか疑問に思った。一般に、その理由は $\sqrt 17$ は直角三角形が重ならない最後の三角形の斜辺の長さであったからであると考えられている^[4]。

三角形の重なり

1958年、カレブ・ウィリアムズ（Kaleb Williams）は、テオドロスの螺旋のどの斜辺も重ならないことを示した。また、長さ1の辺の延長は、ほかのどの頂点も通らないことも証明した^[4]^[5]。

拡張

テオドロスは斜辺が $\sqrt 17$ となるところで止めてしまったが、無限に螺旋を続けることができる。

成長率

角

螺旋の中心に位置する $k$ 番目の三角形の頂点の角を $ϕ k$ として $\tan \left(\varphi _{k}\right)={\frac {1}{\sqrt {k}}}$

螺旋の一部

半径

螺旋の半径の成長は任意の $n$ について次の式で表せる。 $\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$

フィリップ・J・デイヴィスによるテオドロスの螺旋を解析的に補完したもの。数字は整数である原点との距離。青は反対方向に螺旋を拡張したもの。

離散的なテオドロスの螺旋をどのように内挿して滑らかな曲線にするか、という問題は2001年にフィリップ・J・デイヴィスによって提案・解決された。階乗をガンマ関数に内挿するのにオイラーの公式を用いることを類推して、デイヴィスは次の式を用いた^[7]。 $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} :T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {i}{\sqrt {k}}}}{1+{\frac {i}{\sqrt {x+k}}}}}\qquad (-1<x<\infty )$ $T (x)$ は実数 $x$ において、螺旋の複素平面上の座標を表す。ジェフリー・J・リーダー（英語版）とArieh Iserles（英語版）はさらにこの関数を研究した。次の関数方程式の解は一意的に $T (x)$ のみに定まる。 $f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x)$ 初期条件は $f (0) = 1$ かつ、偏角と絶対値において、単調増加であることである^[8]。

解析的なデイヴィスの連続化は原点から反対方向の螺旋へと拡張できる^[9]。

図に、元の離散的なテオドロスの螺旋の節を緑の円で示してある。青い円は螺旋を反対方向に繋げたもので、整数の範囲で $n$ 番目の点の極半径が $r n = \pm \sqrt | n |$ となっている。破線の円は原点 $O$ における曲率円である。

出典

[脚注の使い方]

^ ^a ^b ^c ^d ^e Hahn, Harry K. (2007), The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral, arXiv:0712.2184
^ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of ${\sqrt {-1}}$ , Princeton University Press, p. 33, ISBN 0-691-02795-1
^ Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, pp. 86–87
^ ^a ^b Long, Kate, A Lesson on The Root Spiral, オリジナルの11 April 2013時点におけるアーカイブ。 2008年4月30日閲覧。
^ Teuffel, Erich (1958), “Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke”, Mathematisch-Physikalische Semesterberichte zur Pflege des Zusammenhangs von Schule und Universität 6: 148–152, MR 96160
^ Hahn, Harry K. (2008), The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the square root spiral, arXiv:0801.4422
^ Davis (2001), pp. 37–38.
^ Gronau (2004).
^ Waldvogel (2009).

参考文献

Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
Gronau, Detlef (March 2004), “The Spiral of Theodorus”, The American Mathematical Monthly 111 (3): 230–237, doi:10.2307/4145130, JSTOR 4145130, https://jstor.org/stable/4145130
Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), “The functional equation of the square root spiral”, in T. M. Rassias, Functional Equations and Inequalities, pp. 111–117
Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral

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