スティーフェル・ホイットニー数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 09:34 UTC 版)
「スティーフェル・ホイットニー類」の記事における「スティーフェル・ホイットニー数」の解説
次元 n の多様体上で考えると、全次数 n のスティーフェル・ホイットニー類の任意の積は、与えられた Z/2Z の元を与える多様体の Z/2Z-基本類(fundamental class)、ベクトルバンドルのスティーフェル・ホイットニー数(Stiefel–Whitney number)とペアとすることができる。たとえば、多様体の次元を 3 とすると、3つの線型独立な w 1 3 , w 1 w 2 , w 3 {\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}} により与えられるスティーフェル・ホイットニー数が存在する。一般に、多様体の次元が n であれば、独立なスティーフェル・ホイットニー数の数は、n の分割数となる。 滑らかな多様体の接バンドルのスティーフェル・ホイットニー数を、多様体のスティーフェル・ホイットニー数を呼ぶ。スティーフェル・ホイットニー数はコボルディズム(cobordism)不変量であることが知られている。このことはレフ・ポントリャーギン(Lev Pontryagin)により証明され、B が滑らかなコンパクトな (n+1)–次元多様体で M と等しい境界を持っているとすると、M のスティーフェル・ホイットニー数は、すべて 0 となる。さらに、M のすべてのスティーフェル・ホイットニー数が 0 であれば、M はある滑らかなコンパクトな多様体の境界として実現することができることが、ルネ・トム(René Thom)により証明された。 手術理論（英語版）(surgery theory)におけるスティーフェル・ホイットニー数の重要性のひとつに、スティーフェル・ホイットニー数は (4k+1)-次元多様体 w 2 w 4 k − 1 {\displaystyle w_{2}w_{4k-1}} のド・ラーム不変量（英語版）(de Rham invariant)という定理がある。
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