スティーフェル・ホイットニー類の一意性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 09:34 UTC 版)
「スティーフェル・ホイットニー類」の記事における「スティーフェル・ホイットニー類の一意性」の解説
ラインバンドルに関する上記の全単射は、4つの公理を満たす函手 θ は次の議論により w と等しいことを意味する。第二の公理は、θ(γ1) = 1 + θ1(γ1) であることを意味する。包含写像 i : P1(R) → P∞(R) に対し、引き戻しバンドル i*γ1 は γ 1 1 {\displaystyle \gamma _{1}^{1}} と等しいので、第一と第三の公理を使うと、 i ∗ θ 1 ( γ 1 ) = θ 1 ( i ∗ γ 1 ) = θ 1 ( γ 1 1 ) = w 1 ( γ 1 1 ) = w 1 ( i ∗ γ 1 ) = i ∗ w 1 ( γ 1 ) {\displaystyle i^{*}\theta _{1}(\gamma ^{1})=\theta _{1}(i^{*}\gamma ^{1})=\theta _{1}(\gamma _{1}^{1})=w_{1}(\gamma _{1}^{1})=w_{1}(i^{*}\gamma ^{1})=i^{*}w_{1}(\gamma ^{1})} である。写像 i*: H1(P∞(R); Z/2Z) → H1(P1(R); Z/2Z) は同型であるので、 θ 1 ( γ 1 ) = w 1 ( γ 1 ) {\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})} であり、θ(γ1) = w(γ1) であることが分かる。E を空間 X 上のランク n の実ベクトルバンドルとすると、E は分解写像（英語版）(splitting map)、すなわち、ある空間 X が存在し、 f ∗ : H ∗ ( X ; Z / 2 Z ) ) → H ∗ ( X ′ ; Z / 2 Z ) {\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )} が単射であり、ラインバンドル λ i → X ′ {\displaystyle \lambda _{i}\to X'} に対し、 f ∗ E = λ 1 ⊕ ⋯ ⊕ λ n {\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}} となるような写像 f : X′ → X となる。X 上の任意のラインバンドルは、ある写像 g に対し g*γ1 の形をし、自然に θ(g*γ1) = g*θ(γ1) = g*w(γ1) = w(g*γ1) となる。このように V e c t 1 ( X ) {\displaystyle Vect_{1}(X)} 上では、θ = w となる。上記の四番目の公理からは、 f ∗ θ ( E ) = θ ( f ∗ E ) = θ ( λ 1 ⊕ ⋯ ⊕ λ n ) = θ ( λ 1 ) ⋯ θ ( λ n ) = w ( λ 1 ) ⋯ w ( λ n ) = w ( f ∗ E ) = f ∗ w ( E ) {\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E)} であることが分かる。f* は単射であるので、θ = w であるからである。このように、スティーフェル・ホイットニー類は 4つの公理を満たし、一意的な函手である。
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