クラマース-クローニッヒの関係式
クラマース・クローニッヒの関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/26 05:58 UTC 版)
クラマース・クローニッヒの関係式（—かんけいしき、英: Kramers–Kronig relation）とは、線形応答における周波数応答関数の実部と虚部がヒルベルト変換で関係づけられていることを示した式である。 1926年にラルフ・クローニッヒ、1927年にヘンリク・アンソニー・クラマースによって電磁波の分散現象に対して導かれた。
- 1 クラマース・クローニッヒの関係式とは
- 2 クラマース・クローニッヒの関係式の概要
- 3 クラマース・クローニッヒの関係式
- 4 因果律からの導出
- 5 複素関数を用いた導出
- 6 応用
クラマース・クローニッヒの関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/05 04:44 UTC 版)
「複素感受率」の記事における「クラマース・クローニッヒの関係式」の解説
複素感受率の実部 Re χ ( ω ) {\displaystyle {\text{Re}}\,\chi (\omega )} と虚部 Im χ ( ω ) {\displaystyle {\text{Im}}\,\chi (\omega )} について以下のクラマース・クローニッヒの関係式が成り立つ。 Re χ ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ Im χ ( ω ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle {\text{Re}}\,\chi (\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\text{Im}}\,\chi (\omega )}{\omega '-\omega }}\,d\omega '} Im χ ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ Re χ ( ω ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle {\text{Im}}\,\chi (\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\text{Re}}\,\chi (\omega )}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}
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クラマース・クローニッヒの関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/28 18:28 UTC 版)
「線形応答理論」の記事における「クラマース・クローニッヒの関係式」の解説
詳細は「クラマース・クローニッヒの関係式」を参照 応答関数のフーリエ変換である複素感受率(複素アドミッタンス) ϕ ( ω ) = ϕ R ( ω ) + i ϕ I ( ω ) {\displaystyle \phi (\omega )=\phi _{R}(\omega )+i\phi _{I}(\omega )} の実部と虚部に対して、以下のクラマース・クローニッヒの関係式が成立する。 ϕ R ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ ϕ I ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \phi _{R}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi _{I}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '} ϕ I ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ ϕ R ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \phi _{I}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi _{R}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '} ここで P {\displaystyle {\mathcal {P}}} はコーシーの主値をとることを表す。
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クラマース・クローニッヒの関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:03 UTC 版)
「クラマース・クローニッヒの関係式」の記事における「クラマース・クローニッヒの関係式」の解説
周波数応答関数H(ω)=HR(ω)+i HI(ω)に対して(ただし、HR はHの実部、HI はHの虚部である。) H R ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ H I ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ H I ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ H R ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle {\begin{aligned}H_{R}(\omega )&={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H_{I}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '\\H_{I}(\omega )&=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H_{R}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '\end{aligned}}} がクラマース・クローニッヒの関係式である。（ P {\displaystyle {\mathcal {P}}} はコーシーの主値をとることを表す。) 後述するインパルス応答h(t) が恒に実数であるという条件を付けると、周波数応答関数の実部は偶関数、虚部は奇関数になる。これを用いて積分範囲を正の部分にするようにクラマース・クローニッヒの関係式を変形すると H R ( ω ) = 2 π P ∫ 0 ∞ ω ′ H I ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ H I ( ω ) = − 2 π P ∫ 0 ∞ ω H R ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ {\displaystyle {\begin{aligned}H_{R}(\omega )&={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega 'H_{I}(\omega ')}{{\omega '}^{2}-\omega ^{2}}}\,d\omega '\\H_{I}(\omega )&=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega H_{R}(\omega ')}{{\omega '}^{2}-\omega ^{2}}}\,d\omega '\end{aligned}}} となる。
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