クラマース＝ワニア双対性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/04 01:10 UTC 版)
 | 原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。 |
クラマース＝ワニア双対性(Kramers–Wannier duality)は、統計力学での対称性である。クラマース＝ワニア双対性は、低温での2次元の正方格子イジングモデル(square-lattice Ising model)の自由エネルギー(free energy)を、高温の別なイジングモデルの自由エネルギーとを関連付ける双対性である。この双対性はヘンリク・クラマースとグレゴリー・ワニエにより1941年に発見された。この双対性を用いて、クラマースとワニエは、正方格子イジングモデルの臨界点の正確な値を求めた。
同様な双対性は、他の統計モデルの自由エネルギーの間の関係も確立している。例えば、3次元ではイジングモデルはあるゲージイジングモデルの双対である。
直感的な考え方
2次元イジングモデルは格子（チェスボード状の正方形の集まり）上で定義される。有限格子では、辺はトーラスを形成するように結合できる。この種類の理論では、対合を構成することができる。例えば、ラルス・オンサーガー(Lars Onsager)は、Y-Δ変換が三角格子に使えるのではないかと提唱した[1]。さて、離散的なトーラスの双対は自己自身である。さらに、非常に非秩序な（高温度）系の双対は、非常に秩序のある（低温度）系である。これは、フーリエ変換が大きな帯域幅をもつ（標準偏差が大きい）信号を帯域幅の小さな(標準偏差の小さい)信号にするためである。従って、逆温度を持つ本質的に同じ理論であることがわかる。
一方の理論の温度を上げると、もう一方の理論は温度が下る。相転移が一つしかない場合、相転移は交叉する点、すなわち双方の系の温度が等しくなる点で起こる。2次元イジングモデルは無秩序状態から秩序状態へ移るので、無秩序相と秩序相の間には 一対一写像に近い写像が存在する。
理論は一般化され、現在では、様々な考え方が融合している。例えば、四角形格子は円[2]、ランダム格子[3]、非等質トーラス[4]、三角格子[5]、 labyrinth[6]、ツイストした境界を持つ格子[7]、カイラルポッツモデル[8]など、様々なものに置き換えられる。
導出
これらの変数を定義する。
- クラマース＝ワニア双対性のページへのリンク
