因果律からの導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:03 UTC 版)
「クラマース・クローニッヒの関係式」の記事における「因果律からの導出」の解説
クラマース・クローニッヒの関係式は、刺激よりも前に応答は起こりえないという因果律から導かれる。 線形応答においてはt=0におけるインパルスδ(t)に対する応答h(t)が決まれば、任意の刺激に対する応答が決定される。h(t)を偶関数he(t)と奇関数ho(t)の和の形 h ( t ) = h ( t ) + h ( − t ) 2 + h ( t ) − h ( − t ) 2 ≡ h e ( t ) + h o ( t ) {\displaystyle h(t)={\frac {h(t)+h(-t)}{2}}+{\frac {h(t)-h(-t)}{2}}\equiv h_{\mathrm {e} }(t)+h_{\mathrm {o} }(t)} に分解すると、因果律よりt<0でh(t)=0なのでho(t)=he(t)·sgn(t)、he(t)=ho(t)·sgn(t)となる。 インパルス応答をフーリエ変換して周波数応答関数を求めると、 H ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ d t h e ( t ) e i ω t + ∫ − ∞ ∞ d t h o ( t ) e i ω t = ∫ − ∞ ∞ d t h e ( t ) cos ( ω t ) + i ∫ − ∞ ∞ d t h o ( t ) sin ( ω t ) {\displaystyle {\begin{aligned}H(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {e} }(t)e^{i\omega t}+\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {o} }(t)e^{i\omega t}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {e} }(t)\cos(\omega t)+i\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {o} }(t)\sin(\omega t)\end{aligned}}} となり、偶関数部he(t)のフーリエ変換は周波数応答関数の実部、奇関数部ho(t)のフーリエ変換は周波数応答関数の虚部にあたることが分かる。 それぞれに対して積関数のフーリエ変換が畳み込みになることを使えば、クラマース・クローニッヒの関係式が導かれる。ここで、 sgn ^ ( ω ) {\displaystyle {\widehat {\operatorname {sgn} }}(\omega )} は符号関数のフーリエ変換を表す。 H R ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ d t h e ( t ) e i ω t = ∫ − ∞ ∞ d t h o ( t ) sgn ( t ) e i ω t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ d ω ′ i H I ( ω ′ ) sgn ^ ( ω − ω ′ ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ d ω ′ H I ( ω ′ ) ω ′ − ω i H I ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ d t h e ( t ) sgn ( t ) e i ω t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ d ω ′ H R ( ω ′ ) sgn ^ ( ω − ω ′ ) = 1 π i P ∫ − ∞ ∞ d ω ′ H R ( ω ′ ) ω ′ − ω {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\mathrm {R} }(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {e} }(t)e^{i\omega t}=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {o} }(t)\operatorname {sgn}(t)e^{i\omega t}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega '\,iH_{\mathrm {I} }(\omega '){\widehat {\operatorname {sgn} }}(\omega -\omega ')\\&={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega '\,{\frac {H_{\mathrm {I} }(\omega ')}{\omega '-\omega }}\\iH_{\mathrm {I} }(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {e} }(t)\operatorname {sgn}(t)e^{i\omega t}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega '\,H_{\mathrm {R} }(\omega '){\widehat {\operatorname {sgn} }}(\omega -\omega ')\\&={\frac {1}{\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega '\,{\frac {H_{\mathrm {R} }(\omega ')}{\omega '-\omega }}\end{aligned}}}
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