ガブリエルのラッパ

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ガブリエルのラッパ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/12 05:44 UTC 版)

「ガブリエルのラッパ」の3Dイラスト。

GeoGebraによるガブリエルのラッパの3D描画。

ガブリエルのホルン（英: Gabriel's Horn）またはガブリエルのトランペットは、有限の体積と無限の表面積を併せもつ幾何学的な空間図形である。その名称は、有限が無限（神）と結びつくこの現象を、最後の審判を告げる笛を吹くという伝承の大天使ガブリエルへなぞらえたものである。この図形の性質を調べた最初の人は、17世紀イタリアの物理学者兼数学者のエヴァンジェリスタ・トリチェリで、トリチェリのトランペット（英: Torricelli's trumpet）とも呼ばれる。

数学的な定義

f: x → 1/x のグラフ

ガブリエルのホルンは、f: x → 1/x の領域 x ≥ 1（つまり x = 0 における漸近挙動の問題は関わってこない）での平面グラフを三次元において x-軸の周りに回転させることで形作られる。 この発見は微分積分学の発明以前のことで、カヴァリエリの原理が使われたが、今日の微分積分学は x = 1 と x = a (a > 1) の間の体積と表面積の計算を利用することができる。 積分（詳細は、回転体及び回転面を参照）を用いて、体積 V_a および表面積 A_a は

${\displaystyle V_{a}=\pi \int _{1}^{a}{1 \over x^{2}}{\mathit {dx}}=\pi \left(1-{1 \over a}\right)}$