エーレスマンの定理(Ehresmann's theorem)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/23 04:50 UTC 版)
「周期写像」の記事における「エーレスマンの定理(Ehresmann's theorem)」の解説
詳細は「エーレスマンの定理（英語版） 」を参照 f : X → B を正則埋め込みの射(morphism)とする。B の点 b に対し、b 上の f のファイバを Xb で表すとし、B の点 0 を固定する。エーレスマンの定理（英語版）は 0 の周りの小さな開近傍 U であってそこで f がファイバーバンドルとなるようなものが存在することを保証する。すなわち、f−1(U) は X0 × U に微分同相である。特に、合成写像 X b ↪ f − 1 ( U ) ≅ X 0 × U ↠ X 0 {\displaystyle X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\times U\twoheadrightarrow X_{0}} は微分同相である。この微分同相写像は、写像が自明化の選択に依存しているので、一意には決まらない。（ファイバーバンドルの）自明化は U 内の滑らかな経路から構成され、微分同相のホモトピー類は b から 0 への経路のホモトピー類の選択にのみ依存することを示すことができる。特に、U が可縮であれば、ホモトピーの差異を除ききちんと定義できる微分同相が存在する。 Xb から X0 への微分同相写像は、コホモロジー群の同型 H k ( X b , Z ) ≅ H k ( X b × U , Z ) ≅ H k ( X 0 × U , Z ) ≅ H k ( X 0 , Z ) {\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} )} を引き起こし、ホモトピー写像はコホモロジー上に恒等写像を引き起こすので、この同型は b から 0 への経路のホモトピー類のみに依存する。
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