エネルギー分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/31 04:56 UTC 版)
「宇宙マイクロ波背景放射」の記事における「エネルギー分布」の解説
CMBの特徴の一つに、エネルギースペクトル分布が黒体放射とほぼ一致しているという点がある。
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エネルギー分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/19 09:43 UTC 版)
前項から導出された結果を用いると、箱の中の気体におけるいくつかの分布を決定できる。 粒子系において、変数 A {\displaystyle A} の分布 P A {\displaystyle P_{A}} は、 A {\displaystyle A} から A + d A {\displaystyle A+dA} の値をもつ粒子の割合を表す P A d A {\displaystyle P_{A}dA} から定義される。 P A d A = d N A N = d g A N Φ A {\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}={\frac {dg_{A}}{N\Phi _{A}}}} d N A {\displaystyle dN_{A}} , A {\displaystyle A} から A + d A {\displaystyle A+dA} の値を持つ粒子数 d g A {\displaystyle dg_{A}} , A {\displaystyle A} から A + d A {\displaystyle A+dA} の値を持つ状態数 Φ A − 1 {\displaystyle \Phi _{A}^{-1}} , A {\displaystyle A} の値を持つ状態が粒子に占有されている確率 N {\displaystyle N} , 全粒子数 ∫ A P A d A = 1 {\displaystyle \int _{A}P_{A}~dA=1} 運動量分布 P p {\displaystyle P_{p}} において、 p {\displaystyle p} から p + d p {\displaystyle p+dp} の運動量をもつ粒子の割合は、 P p d p = V f N 4 π h 3 Φ p p 2 d p {\displaystyle P_{p}~dp={\frac {Vf}{N}}~{\frac {4\pi }{h^{3}\Phi _{p}}}~p^{2}dp} またエネルギー分布 P E {\displaystyle P_{E}} において、 E {\displaystyle E} から E + d E {\displaystyle E+dE} のエネルギーを持つ粒子の割合は、 P E d E = P p d p d E d E {\displaystyle P_{E}~dE=P_{p}{\frac {dp}{dE}}~dE} 箱の中の粒子（と自由粒子）において、エネルギー E {\displaystyle E} と運動量 p {\displaystyle p} との関係は、質量がある粒子とない粒子では異なっている。 質量のある粒子では、 E = p 2 2 m {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}} E = p c {\displaystyle E=pc\,} ここで m {\displaystyle m} は粒子の質量、 c {\displaystyle c} は光速である。これらの関係を用いると、 質量のある粒子では d g E = ( V f Λ 3 ) 2 π β 3 / 2 E 1 / 2 d E P E d E = 1 N ( V f Λ 3 ) 2 π β 3 / 2 E 1 / 2 Φ ( E ) d E {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~\beta ^{3/2}E^{1/2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}} Λ = h 2 β 2 π m {\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}}} これは重要な量である。なぜならΛが粒子間距離 ( V / N ) {\displaystyle (V/N)} 1/3のオーダーのときは、量子的な効果が支配し始め、気体はマクスウェル＝ボルツマン気体とは見なせなくなるからである。 質量のない粒子では d g E = ( V f Λ 3 ) 1 2 β 3 E 2 d E P E d E = 1 N ( V f Λ 3 ) 1 2 β 3 E 2 Φ ( E ) d E {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}} Λ = c h β 2 π 1 / 3 {\displaystyle \Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}}
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