アーベルの級数変形法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/03/02 04:35 UTC 版)
部分和分を特に級数に対して考えたものは、ふつうアーベルの級数変形法 (Abel transformation) と呼ばれるものである。すなわち、二つの数列 (an), (bn) (n = 0, 1, 2, …) に対して、それらの項ごとの積から得られる和 S N = ∑ n = 0 N a n b n {\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}} の振舞いを知りたいとする。ここで Bn = ∑nk=0 bk と置けば、b0 = B0, bn = Bn − Bn−1 (n ≥ 1) であって、かつ S N = a 0 b 0 + ∑ n = 1 N a n ( B n − B n − 1 ) = a 0 b 0 − a 0 B 0 + a N B N + ∑ n = 0 N − 1 B n ( a n − a n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}&=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1})\\&=a_{0}b_{0}-a_{0}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1})\end{aligned}}} ∑ n = 0 N a n b n = a N B N − ∑ n = 0 N − 1 B n ( a n + 1 − a n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})} が得られるが、このような変形を施すことをアーベルの級数変形法と呼ぶのである。これは SN のいくつかある収束判定法の証明に用いられる。 定積分に対する部分積分の公式 ∫ a b f ( x ) d g ( x ) = [ f ( x ) g ( x ) ] a b − ∫ a b g ( x ) d f ( x ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=[f(x)\,g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}g(x)\,df(x)} ∑ n = 0 N a n Δ B n = a N B N − ∑ n = 0 N − 1 B n Δ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\Delta B_{n}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}\Delta a_{n}} となり、部分積分との類似性は見易い。 なお、アーベルの級数変形法を応用する場面ではほとんどの場合において級数の収束性を問題にすることになるが、ここで述べた変形法自体は純代数的なものであり、従って「数列」の成分を任意の体の元としてもそのまま成り立つ。あるいは一方をベクトル空間におけるベクトル列とし、他方をそのベクトル空間の係数体に成分を持つスカラー列としたような場合などでも有効である。
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