たじげんせいきぶんぷとは？わかりやすく解説

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多次元正規分布

読み方：たじげんせいきぶんぷ
【英】：multivariate normal distribution

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを $\boldsymbol{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,$ , (分散)共分散行列を $\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \,$ とすると, $n \,$ 次の多次元正規分布の確率密度関数は $\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n) \,$ として

$f(\boldsymbol{x})= \displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp} \left[ - \frac{1}{2} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top} \right] } \,$

で与えられる. ただし, $\boldsymbol{x}^{\top} \,$ はベクトル $\boldsymbol{x} \,$ の転置, $|\mathbf{\Sigma}| \,$ は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.

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