その他の存在定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/11 06:07 UTC 版)
「ピカール＝リンデレーフの定理」の記事における「その他の存在定理」の解説
ピカール＝リンデレーフの定理は、解が存在することと、それが一意であることを示す。ペアノの存在定理は存在のみを示し、一意性は示さないが、これは f がリプシッツ連続ではなく、 y において連続であることのみを仮定している。例えば、方程式の右辺が dy/dt = y 1/3 を初期条件 y(0) = 0 として計算すると、連続ではあるがリプシッツ連続ではない。実際、この方程式は一意ではなく、次の3つの解を持っている。 y ( t ) = 0 , y ( t ) = ± ( 2 3 t ) 3 2 {\displaystyle y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}} さらに一般的なものとしてはカラテオドリの存在定理があり、これは f に関するより弱い条件の下で（より一般的な意味での）存在を証明するものである。これらの条件は十分条件でしかないが、岡村の定理のように、初期値問題の解が一意であるための必要十分条件も存在する。
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