くりこみ変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 08:56 UTC 版)
「くりこみ変換」とは、直感的に言うとスケール変換をして粗視化することである。量子論的場の理論の理解では素粒子は半径を持たないので任意のスケール変換に対し、元のスケールの粒子描像に新たに量子補正を取り入れた粒子を「変換後のスケールにおける粒子」と再定義することが可能である。つまりスケール変換に応じて質量や結合定数の異なる粒子描像に移行することになる。 理論のパラメータが1つである典型的な場合を考える。パラメータが x {\displaystyle x} であるとして、スケール変換 x ⟶ x / t t > 0 {\displaystyle x\longrightarrow x/t\qquad t>0} を考える。この時、 x {\displaystyle x} に依存する量 g {\displaystyle g} が g ⟶ G ( t , g ) {\displaystyle g\longrightarrow G(t,g)} のように変換されると仮定する。したがって、 G ( t , g ) {\displaystyle \;G(t,g)\;} の初期条件は G ( 1 , g ) = g {\displaystyle G(1,g)=g} で与えられる。パラメータ x {\displaystyle x} と g {\displaystyle g} の対 ( x , g ) {\displaystyle (x,g)} は空間 M := ( 0 , ∞ ) × R {\displaystyle M:=(0,\infty )\times \mathbb {R} } の点と考えられるので、写像 ( x , g ) ⟶ ( x / t , G ( t , g ) ) {\displaystyle (x,g)\longrightarrow (x/t,G(t,g))\;} は M {\displaystyle \;M\;} の中への写像だと見なせる。 今、変換 ( x , g ) ⟶ ( x / t , G ( t , g ) ) {\displaystyle \;(x,g)\longrightarrow (x/t,G(t,g))\;} を R t ( x g ) = ( x / t G ( t , g ) ) {\displaystyle R_{t}{\begin{pmatrix}x\\g\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/t\\G(t,g)\end{pmatrix}}} と書き、関係式 R s R t = R t s {\displaystyle R_{s}R_{t}=R_{ts}} を満足しているものと仮定する。このとき、単位元は R 1 {\displaystyle R_{1}} であり、任意の R s , R t {\displaystyle R_{s},R_{t}} に対して R t R s = R s R t {\displaystyle R_{t}R_{s}=R_{s}R_{t}} が分かるので、集合 { R t | t > 0 } {\displaystyle \{R_{t}|t>0\}} は、可換半群をなすことが分かる。この { R t | t > 0 } {\displaystyle \{R_{t}|t>0\}} を「くりこみ変換」と呼ぶ。
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